組合せとグラフの理論（塩田）2024年度

組合せとグラフの理論（塩田）第7回 (2)　2元体 $\mathbb{F}_2$

スカラーとは

　ベクトルに対してただの数のことを「スカラー」と呼びます。線形代数を習い始めたころは実数がスカラーで、固有値の勉強をする頃になると複素数もスカラーとして使います。

　行列計算をするときに、数として要求されることは何かと考えて次の定義に至ります：

Def.1　加減乗除の四則演算ができる数の集合を「体（たい）」と呼ぶ。

　この観点から、実数の集合は「実数体」、複素数の集合は「複素数体」と呼ばれます。また、実数をスカラーと考えるベクトルは「実ベクトル」あるいは「実数体上のベクトル」というように呼びます。

2元体 $\mathbb{F}_2$

　ここで、情報科学にとって大切な体を導入します。

Def.2　

$0$ と

$1$ の 2 つしか要素を持たない集合に、次のように加減乗除を定義した体

$\mathbb{F}_2=\{\,0,1\,\}$ を「2元体」と呼ぶ。

$a+b$	$a-b$	$a \times b$	$a \div b$
$\begin{array}{\|c\|cc\|} \hline a ＼ b & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|cc\|} \hline a ＼ b & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|cc\|} \hline a ＼ b & 0 & 1 \\\hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$	$\begin{array}{\|c\|c\|} \hline a ＼ b & 1 \\\hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \hline \end{array}$

（普通の数と同様、

$0$ では割れません。）

　法演算を知っている人には、

$\bmod 2$ の計算、と言えばわかるでしょうか。

$2=0$ ,

$\quad -x=x$ と思って計算するのが

$\mathbb{F}_2$ です。

Rem.3　

$\mathbb{F}_2$ を使って設計したシステムは

ですから容易にハードウェア化できて、計算も高速にできるというメリットがあります。