組合せとグラフの理論（塩田）第10回 (1)　双対グラフ
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定義

　まずは定義から。
Def.1　平面グラフ $G=(V,E)$ に対し、$\newcommand{\as}{^{\ast}}$ その双対グラフ（幾何学的双対グラフ）$G\as=(V\as, E\as)$ を次のように定める。
  1. $G\as$ の頂点は $G$ の面のことである。
  2. $G$ の面 $\alpha$ と $\beta$ が辺を共有するとき、 $G\as$ の頂点として $\alpha$ と $\beta$ を隣接させる。
　何のこっちゃ、と思うかもしれませんが、描き方を聴くと意味が分かります。

描き方

描き方　
  1. $G$ の各面に点をひとつずつ打つ
  2. 隣り合う面に打った点同士を、境界辺をまたぐ辺で結ぶ。
※　$\require{color}\textcolor{red}{G}$ の辺が交差していない ことが前提です。ここ大事！
Ex.2　正四面体グラフの双対グラフを描いてみましょう（赤いグラフが双対グラフです）。
$\displaystyle{\mathop{\longrightarrow}^{\ 1^{\circ}}}$ $\displaystyle{\mathop{\longrightarrow}^{\ 2^{\circ}}}$
グラフの外側もひとつの面 ですから忘れないように。
やってみよう　Ex.2 をまねて立方体グラフの双対グラフを描いてみましょう。
やってみよう　車輪グラフ $W_6$ の双対グラフも描いてみましょう。

注

Rem.3　$G \cong H$ であっても、 平面グラフとしての描画が異なると $G\as \not\cong H\as$ となることがある。（今日の宿題を参照。）
Rem.4　$G$ が単純グラフであっても、$G\as$ にはループや多重辺ができることがある。
     

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