応用数学 第12回 (6) 畳み込み

$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

畳み込み

 畳み込み ( 合成積、convolution ) の定義は、 フーリエ変換のときとは、 関数の定義域や積分区間が違っています
Def.13 $t \geqq 0$ で定義されたふたつの関数 $f(t)$, $g(t)$ に対して
$\dps{(f \ast g)(t) = \int_{0}^{t} f(t-x)g(x)dx}$
を「 $f$ と $g$ の畳み込み」と呼ぶ。
※ ただし「 $f(t)$, $g(t)$ の値は $t \lt 0$ では $0$ 」だと解釈すれば
$\dps{(f \ast g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t-x)g(x)dx}$
とも書けますので、これならフーリエ変換のときと同じものになります。

 そして、フーリエ変換のときと同様に次が言えます:
Th.14 $\LT(f \ast g)=\LT(f) \times \LT(g)$.
証明  \begin{align} \LT(f)(s) \times \LT(g)(s) &=\int_0^{\infty} f(u)e^{-su}du \times \int_0^{\infty} g(v)e^{-sv}dv \\ &=\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} f(u)g(v)e^{-s(u+v)}du dv \\ \end{align} ここで
$t=u+v$,  $x=v$
と変数変換すると、 積分領域は $\{\,(u,v)\,|\,u,\,v \geqq 0\,\}$ から $\{\,(t,x)\,|\,t \geqq 0$, $0 \leqq x \leqq t\,\}$ に写り、
ヤコビ行列式は
$\dps{ \left|\,\frac{\partial(u, v)}{\partial(t,x)}\,\right| =\left| \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right| =1 }$
ゆえ
右辺 $\dps{=\int_0^{\infty} \left(\int_0^{t} f(t-x)g(x)dx\right)e^{-st}dt =\LT(f \ast g)(s). }$
(証明終)