応用数学（塩田）2022年度

応用数学第12回 (5)　ディラックのデルタ関数

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$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

ディラックのデルタ関数

Def.11　ディラックのデルタ関数とは、任意の関数

$\varphi(t)$ に対して

$\dps{\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\varphi(t)\,dt = \varphi(0)}$ を満たし、

$t \neq 0$ のとき

$\delta(t)=0$ となるような関数のこと。

※　特に

$\varphi(t)=1$ とすると

$\dps{\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1}$ ですので、「

$t=0$ ただ1点での面積が

$1$ 」というケッタイな代物ですが、とても役に立ちます。 ( 普通の関数ではなくて、正しくは「超関数」というものです。) 　そのラプラス変換は

Th.12　(1)　

$\LT(\delta(t))=1$ . (2)　

$\LT(\delta(t-\lambda))=e^{-\lambda s}$ .

証明　(2) から示します。

$\begin{align} \LT(\delta(t-\lambda)) &=\int_0^{\infty} \delta(t-\lambda)e^{-st}\,dt \\ &=\int_0^{\infty} \delta(u)e^{-s(u+\lambda)}\,du \qquad (\ u = t-\lambda\ ) \\ &=e^{-s(0+\lambda)} = e^{-\lambda s}. \\ \end{align}$ (1) は

$\lambda=0$ の場合です。(証明終)

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