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パーセバルの等式

　フーリエ展開から級数和を求める道具として有名なのがパーセバルの等式です。 $\newcommand{\ip}[2]{\langle\,#1,#2\,\rangle}$ 　厳密には収束性を示さなければなりませんが、内積の双線形性と Th.4 より $$\begin{align} \frac{1}{\pi} & \int_{-\pi}^{\pi}f^2dx = \frac{1}{\pi}\ip{f}{f} \\ &= \frac{1}{\pi}\left(\left(\frac{a_0}{2}\right)^2\ip{1}{1} +\sum_{n=1}^{\infty} \left({a_n\!}^2\ip{\cos(nx)}{\cos(nx)}+{b_n\!}^2\ip{\sin(nx)}{\sin(nx)} \right)\right) \\ &= \frac{1}{\pi}\left(\left(\frac{a_0}{2}\right)^22\pi +\sum_{n=1}^{\infty}\left({a_n\!}^2\pi+{b_n\!}^2\pi \right)\right) = \frac{{a_0}^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left({a_n\!}^2+{b_n\!}^2\right) \\ \end{align}$$

例

参考：リーマンのゼータ関数

　複素変数 $s$ に対して $\dps{\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots}$ と定められる関数は「リーマンのゼータ関数」と呼ばれ、 $\dps{\zeta(s)=\prod_{p:\mbox{素数}}\frac{1}{1-p^{-s}}}$ という無限積表示（オイラー積）を持つなど、 素数の情報を全て含む非常に重要な関数です。 その $s=2, 4$ での値には円周率が現れ、そのことがフーリエ展開から証明できる、というのは非常に興味深いことです。 $$\begin{align} \zeta(2)&=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}, \\ \zeta(4)&=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{90} \\ \end{align}$$ 未解決の大問題「リーマン予想」もこの $\zeta(s)$ に関する予想です。

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