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偶関数・奇関数のフーリエ係数

ただし

• $f(x)$ が偶関数とは「 $f(-x)=\ \ \ f(x)$, $\forall x$ 」が成り立つこと
• $f(x)$ が奇関数とは「 $f(-x)=-f(x)$, $\forall x$ 」が成り立つこと

で、Th.4 $(\star)$ で $t=-x$ と置換すれば示せます。

例

証明　$f(x)$ は不連続点を除いては奇関数ゆえ $\forall a_n=0$ であり、 $$\begin{align} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx \\ &= \frac{1}{\pi}\Big\{\left[-\frac{1}{n}x\cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx\Big\} =2\frac{(-1)^{n+1}}{n} \\ \end{align}$$ (証明終)

　なお $x=(2k+1)\pi$ では右辺 $=0$ ですが、 $\dps{\frac{1}{2}(f(x-0)+f(x+0))= \frac{1}{2}(\pi + (-\pi)) =0}$ となって Th.8 (2) のとおりになっています。 この式は Ex.10 で $\dps{x=\frac{\pi}{2}}$ とおけば得られます。

※　フーリエ展開はこのような級数和の公式をたくさん産み出します。

次の例

証明　$f(x)$ は偶関数ゆえ $\forall\, b_n=0$ であり、 $$\begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi} \times 2 \int_{0}^{\pi} (\pi-x) dx = \frac{1}{\pi} \times 2 \frac{\pi^2}{2} = \pi , \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\times 2\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)dx \\ &= \frac{2}{\pi}\Big\{\left[\frac{1}{n}(\pi-x)\sin(nx)\right]_{0}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)dx\Big\} \\ &= \frac{2}{\pi}\left\{0+\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_{0}^{\pi}\right\} =\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{4}{\pi n^2}} & n: \mbox{奇数} \\ 0 & n: \mbox{偶数} \geqq 2 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}$$ (証明終)

証明　Ex.12 で $x=0$ とおけば $\dps{\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right)}$ となり、(1) が言えます。(2) は、 $\dps{S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots}$ とおくと、 $$\begin{align} S-\frac{1}{2^2}S &=\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right) -\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots\right) \\ &=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8} \\ \end{align}$$ より。 (証明終)

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