応用数学（塩田）2022年度

応用数学第6回 (4)　定数係数同次線形微分方程式の解

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定数係数同次線形微分方程式の解

$f(X)$ を前ページの通りとするとき、定数係数

$n$ 階同次線形微分方程式

$f(D)\,y=0$

$\cdots\cdots$

$(\ast)$ の解の公式を作ります。

Def.7　

$n$ 次方程式

$f(X)=0$ を

$(\ast)$ の特性方程式と言い、その根を特性根と言う。

Th.8　

$y=e^{\alpha x}$ が $(\ast)$ の解であること $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が特性根であること
$\alpha$ が特性方程式の $k$ 重根ならば、 $e^{\alpha x}$ , $xe^{\alpha x}$ , $\cdots$ , $x^{k-1}e^{\alpha x}$ は全て $(\ast)$ の解である
$f(X)$ の全ての根 $\alpha$ について (2) の形の関数を書き出すと、それらはちょうど $n$ 個あり、 $(\ast)$ の解空間の基底を成す。

証明　(1)　Th.6 (1) より

$f(D)e^{\alpha x}=0$

$\Leftrightarrow$

$f(\alpha)e^{\alpha x}=0$

$\Leftrightarrow$

$f(\alpha)=0$ .

$f(X)=g(X)(X-\alpha)^k$ と書けますので、Th.6 (2) より $f(D)\{e^{\alpha x}x^j\}=e^{\alpha x}f(D+\alpha)\,x^j=e^{\alpha x}g(D+\alpha)D^k\,x^j.$ $j \lt k$ ならば $D^kx^j=0$ ゆえ右辺は $0$ になります。
(2) の形の関数が $n$ 個あることは根の重複度を考えればわかります。それらが一次独立であることは少し長くなるので省略します。（付録参照）

Rem.9　特性根が複素数

$\alpha=\lambda + i \mu$ のときは、共役複素数

$\bar\alpha = \lambda-i \mu$ も特性根で、それらの重複度を

$k$ とすると

$e^{\lambda x}\cos(\mu x)$ , $xe^{\lambda x}\cos(\mu x)$ , $\cdots$ , $x^{k-1}e^{\lambda x}\cos(\mu x)$
$e^{\lambda x}\sin(\mu x)$ , $xe^{\lambda x}\sin(\mu x)$ , $\cdots$ , $x^{k-1}e^{\lambda x}\sin(\mu x)$

たちが

$2k$ 次元分の基底になります。

やってみよう

(1)　

$y'''-5y''+6y' = 0$

解を見る

解　

$f(D)=D^3-5D^2+6D$ の場合で、特性方程式は

$X^3-5X^2+6X=X(X-2)(X-3)=0$ 特性根は

$0$ ,

$2$ ,

$3$ ( 全て単根 ) で、一般解は

$y=Ae^{0x}+B\,e^{2x}+C\,e^{3x}=A+B\,e^{2x}+C\,e^{3x}$

(2)　

$(D-1)^4(D+3)^2\,y = 0$

解を見る

解　特性根は 4 重根

$1$ と 2 重根

$-3$ なので、一般解は

$y=（A+Bx+Cx^2+Dx^3)\,e^x+(E+Fx)\,e^{-3x}$

(3)　

$(D^2+4D+13)^2\,y = 0$

解を見る

解　特性方程式は

$(X^2+4X+13)^2=(X+2+3i)^2(X+2-3i)^2=0$ 　特性根は

$-2\pm 3 i$ ( 共に 2 重根 ) なので、一般解は

$\begin{align} y&=(A+Bx)e^{(-2+3i)x}+(C+Dx)e^{(-2-3i)x} \\ &=(A+Bx)e^{-2x}e^{i(3x)}+(C+Dx)e^{-2x}e^{i(-3x)} \\ &=(A+Bx)e^{-2x}\{\cos(3x)+i\sin(3x)\}+(C+Dx)e^{-2x}\{\cos(-3x)+i\sin(-3x)\} \\ &=e^{-2x}\left\{\big((A+C)+(B+D)x\big)\cos(3x)+i\big((A-C)+(B-D)x\big)\sin(3x)\right\} \\ &=e^{-2x}\{(A'+B'x)\cos(3x)+(C'+D'x)\sin(3x)\} \\ \end{align}$

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