応用数学（塩田）2022年度

定数係数同次線形微分方程式の解

　$f(X)$ を前ページの通りとするとき、定数係数 $n$ 階同次線形微分方程式 $f(D)\,y=0$ $\cdots\cdots$ $(\ast)$ の解の公式を作ります。

Def.7　$n$ 次方程式 $f(X)=0$ を $(\ast)$ の特性方程式と言い、その根を特性根と言う。

Th.8　

$y=e^{\alpha x}$ が $(\ast)$ の解であること $\Leftrightarrow$ $\alpha$ が特性根であること
$\alpha$ が特性方程式の $k$ 重根ならば、 $e^{\alpha x}$, $xe^{\alpha x}$, $\cdots$, $x^{k-1}e^{\alpha x}$ は全て $(\ast)$ の解である
$f(X)$ の全ての根 $\alpha$ について (2) の形の関数を書き出すと、それらはちょうど $n$ 個あり、$(\ast)$ の解空間の基底を成す。

証明　(1)　Th.6 (1) より $f(D)e^{\alpha x}=0$ $\Leftrightarrow$ $f(\alpha)e^{\alpha x}=0$ $\Leftrightarrow$ $f(\alpha)=0$.

$f(X)=g(X)(X-\alpha)^k$ と書けますので、Th.6 (2) より $f(D)\{e^{\alpha x}x^j\}=e^{\alpha x}f(D+\alpha)\,x^j=e^{\alpha x}g(D+\alpha)D^k\,x^j.$ $j \lt k$ ならば $D^kx^j=0$ ゆえ右辺は $0$ になります。
(2) の形の関数が $n$ 個あることは根の重複度を考えればわかります。それらが一次独立であることは少し長くなるので省略します。（付録参照）

Rem.9　特性根が複素数 $\alpha=\lambda + i \mu$ のときは、共役複素数 $\bar\alpha = \lambda-i \mu$ も特性根で、それらの重複度を $k$ とすると

$e^{\lambda x}\cos(\mu x)$, $xe^{\lambda x}\cos(\mu x)$, $\cdots$, $x^{k-1}e^{\lambda x}\cos(\mu x)$
$e^{\lambda x}\sin(\mu x)$, $xe^{\lambda x}\sin(\mu x)$, $\cdots$, $x^{k-1}e^{\lambda x}\sin(\mu x)$

たちが $2k$ 次元分の基底になります。

やってみよう

(1)　$y'''-5y''+6y' = 0$

(2)　$(D-1)^4(D+3)^2\,y = 0$

(3)　$(D^2+4D+13)^2\,y = 0$