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Th.8 (3) の証明

　$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_m$ を相異なる複素数、$k$ を固定された自然数とするとき $x^j e^{\alpha_i x}$   ( $i=1,2,\cdots,m$; $j=0,1,\cdots,k$ ) が一次独立であることを示しましょう。 すなわち $\dps{\sum_{i=0}^k\sum_{j=1}^m c_{i,j}x^j e^{\alpha_i x}=0}$  $\cdots\cdots$ $(\clubsuit)$ を仮定して $\forall\, c_{i,j}=0$ を導きましょう。

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$\dps{f(D)=\prod_{i \geqq 2}(D-\alpha_i)^{k+1}}$ とおいてみます。$i \geqq 2$ のとき $\dps{f(D+\alpha_i)=g(D)\,D^{k+1}}$,   $\exists\, g(X)$ と書けますので、Th.6 (2) より $\dps{f(D)\{x^j e^{\alpha_i x}\}=e^{\alpha_i x}f(D+\alpha_i)x^j = e^{\alpha_i x}g(D)\,D^{k+1}x^j}$. $j \leqq k$ ですから $D^{k+1}x^j=0$ で $\dps{fD)\{x^j e^{\alpha_i x}\}=0}$,   $\forall \, i \geqq 2$ となります。従って $(\clubsuit)$ の左から $f(D)$ を作用させると $i=1$ の項だけが残り $$\begin{align} 0=f(D)\sum_{i=1}^m \sum_{j=0}^k c_{i,j}x^j e^{\alpha_i x} &=f(D)\sum_{j=0}^k c_{1,j}x^j e^{\alpha_1 x} \\ &=e^{\alpha_1 x}f(D+\alpha_1)\left(\sum_{j=0}^k c_{1,j}x^j\right)\\ \end{align}$$ ゆえに $\dps{f(D+\alpha_1)\left(\sum_{i=0}^k c_{i,1}x^i\right)=0}$   $\cdots\cdots$ $(\spadesuit)$ ここで $\dps{f(D+\alpha_1)=\prod_{j \geqq 2}(D+\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}=\prod_{j \geqq 2}(\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}+O(D)}$ の定数項 $\dps{\prod_{j \geqq 2}(\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}}$ は $0$ ではありませんので、 もし $\dps{\left(\sum_{i=0}^k c_{i,1}x^i\right)}$ がゼロ多項式でなければ、 $(\spadesuit)$ の左辺にはその最高次の項が残り $0$ には成り得ません。従って ∴　$\forall\, c_{i,1}=0$ 他の番号についても同様です。(証明終)

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