応用数学 第6回 (付録) Th.8 (3) の証明

Th.8 (3) の証明

 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_m$ を相異なる複素数、$k$ を固定された自然数とするとき
$x^j e^{\alpha_i x}$   ( $i=1,2,\cdots,m$; $j=0,1,\cdots,k$ )
が一次独立であることを示しましょう。 すなわち
$\dps{\sum_{i=0}^k\sum_{j=1}^m c_{i,j}x^j e^{\alpha_i x}=0}$  $\cdots\cdots$ $(\clubsuit)$
を仮定して
$\forall\, c_{i,j}=0$
を導きましょう。



$\dps{f(D)=\prod_{i \geqq 2}(D-\alpha_i)^{k+1}}$
とおいてみます。$i \geqq 2$ のとき
$\dps{f(D+\alpha_i)=g(D)\,D^{k+1}}$,   $\exists\, g(X)$
と書けますので、Th.6 (2) より
$\dps{f(D)\{x^j e^{\alpha_i x}\}=e^{\alpha_i x}f(D+\alpha_i)x^j = e^{\alpha_i x}g(D)\,D^{k+1}x^j}$.
$j \leqq k$ ですから $D^{k+1}x^j=0$ で
$\dps{fD)\{x^j e^{\alpha_i x}\}=0}$,   $\forall \, i \geqq 2$
となります。従って $(\clubsuit)$ の左から $f(D)$ を作用させると $i=1$ の項だけが残り \begin{align} 0=f(D)\sum_{i=1}^m \sum_{j=0}^k c_{i,j}x^j e^{\alpha_i x} &=f(D)\sum_{j=0}^k c_{1,j}x^j e^{\alpha_1 x} \\ &=e^{\alpha_1 x}f(D+\alpha_1)\left(\sum_{j=0}^k c_{1,j}x^j\right)\\ \end{align} ゆえに
$\dps{f(D+\alpha_1)\left(\sum_{i=0}^k c_{i,1}x^i\right)=0}$   $\cdots\cdots$ $(\spadesuit)$
ここで
$\dps{f(D+\alpha_1)=\prod_{j \geqq 2}(D+\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}=\prod_{j \geqq 2}(\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}+O(D)}$
の定数項 $\dps{\prod_{j \geqq 2}(\alpha_1-\alpha_j)^{k+1}}$ は $0$ ではありませんので、 もし $\dps{\left(\sum_{i=0}^k c_{i,1}x^i\right)}$ がゼロ多項式でなければ、 $(\spadesuit)$ の左辺にはその最高次の項が残り $0$ には成り得ません。従って
∴ $\forall\, c_{i,1}=0$
他の番号についても同様です。(証明終)