応用数学 第5回 (4) 特殊解：当て推量
当て推量による特殊解の探索
今度は特殊解です。
Ex.4 ( 例 7.4 ) $\dps{y''+\frac{3}{x}y'-\frac{3}{x^2}y = 5}$
Ex.1 と同じく、試しに $y=cx^m$ の形の解を探してみましょう。
このとき、
$\require{cancel}\require{color}$
左辺 $= c\,m(m-1)x^{m-2}+3\,c\,m\,x^{m-2}-3\,c\,x^{m-2} = \xcancel{c(m^2+2m-3)x^{m^2}}$
$\phantom{= c\,m(m-1)x^{m-2}+3\,c\,m\,x^{m-2}-3\,c\,x^{m-2}}$ $= c(m^2+2m-3)x^\textcolor{red}{{m-2}}$
... 11月10日13:20 訂正
ですから
$m-2=0$, $c(m^2+2m-3)=5$
であればよく
$m=2$, $c=1$
すなわち $y_0=x^2$ はひとつの特殊解になります。
Ex.1 と合わせて、一般解は
$y=x^2+A\,x^{-3}+B\,x$
となります。
※ 特殊解を探すときは定数倍 $c$ が要ります。