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解がひとつわかっている場合

証明　定数 $A$ に対して $y=A\,u(x)$ が $(7.3)$ の解なので、定数変化法を用いて、 $y=u(x)v(x)$ の形の関数で $(7.3)$ の解を探してみましょう。
　$y=uv$ ならば、 $$\begin{align} y' &= u'v+uv', \\ y''&= u''v+2u'v'+uv'' \\ \end{align}$$ ゆえ $$\begin{align} (7.3) \mbox{ の左辺} & = y'' + P\,y' +Q\,y \\ & = ( u''v+2u'v'+uv'') + P(u'v+uv') +Quv \\ &= (u''+Pu'+Qu)v+(2u'+Pu)v'+uv'' \\ \end{align}$$ です。$u$ は $(7.3)$ の解ですから最初の ( ) $=0$ で $(2u'+Pu)v' + uv''=0$ となります。$uv'$ で割ると $\dps{\frac{v''}{v'}+\frac{2u'}{u}+P=0}$ これを積分して $\dps{\log(v')+2\log(u)+\int P\,dx=0}$ $\dps{\log(v'u^2)=-\int P\,dx}$ $\dps{v'=e^{-\int P\,dx}\frac{1}{u^2}}$ ∴　$\dps{v=\int e^{-\int P\,dx}\frac{1}{u^2}dx}$ これを $y=uv$ へ入れて $y_2$ が得られました。右辺の被積分関数は $0$ ではないので $v$ は定数ではなく、 したがって $y_1=u$ と $y_2=uv$ は一次独立であることがわかります。(証明終)

例

解　前ページのように、当て推量によりひとつの解 $y=x$ がみつかります。 ( 実際 $y=x$ を $(1)$ の左辺に入れると $x^2(\log x - 1) \times 0 - x \times 1 + x = 0$ となります。)  (1) を $$y'' - \frac{1}{x(\log x - 1)}y' + \frac{1}{x^2(\log x - 1)}y = 0$$ と変形し、Th.2 を $\dps{P=-\frac{1}{x(\log x - 1)}}$ で適用すると $\dps{-\int P\,dx=\log(\log x - 1)}$ $\dps{e^{-\int P\,dx}=\log x - 1}$ $$\begin{align} \int e^{-\int P\,dx}\frac{1}{u^2}dx &= \int \frac{\log x - 1}{x^2}dx \\ &= \left(-\frac{1}{x}\right)(\log x - 1) - \int \left(-\frac{1}{x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)dx \\ &= -\frac{1}{x}(\log x - 1) -\frac{1}{x} = - \frac{\log x }{x} \end{align}$$ よって $\dps{y_2= u \times \left(-\frac{\log x }{x}\right) = -\log x}$ となり、$(1)$ の一般解は $\dps{Y= A\, x+B\,\log x}$ となります。

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