応用数学（塩田）2022年度

応用数学第3回 (1)　関数もベクトルである

ベクトルとは

　「ベクトル」には「矢印」や「長さと方向を持つもの」といったイメージがありますが、その本質は

のたった２つだけです。（「スカラー倍」は、初学者はとりあえず「実数倍」のことだと思っていていいです。）
　線形代数ではベクトル空間 ( = 線形空間 ) の公理というのが出てきて何やらややこしそうですが、このシンプルな約束事を押さえておいてください。

　ベクトルが重宝される理由は

です。

関数もベクトルである

　関数も、足せて、実数倍ができます：

ということは 関数もベクトルである と考えることができます。

関数の一次独立性・一次従属性

　関数もベクトルなので、一次独立性・一次従属性が定義されます。

Def.1　関数

$y_1$ ,

$y_2$ ,

$\cdots$ ,

$y_n$ が一次独立である、とは、

$c_1\,y_1+c_2\,y_2+\cdots+c_n\,y_n=0$ ( ゼロ関数 )

$\cdots\cdots$

$(1)$ を満たす定数の組が

$(c_1, c_2,\cdots,c_n)=(0,0,\cdots,0)$ に限ること。

　一次独立の否定、が一次従属です。

Def.1'　関数

$y_1$ ,

$y_2$ ,

$\cdots$ ,

$y_n$ が一次従属である、とは、

$(c_1, c_2,\cdots,c_n) \neq (0,0,\cdots,0)$ となる定数の組があって

$c_1\,y_1+c_2\,y_2+\cdots+c_n\,y_n=0$ が成り立つこと。

　例えば

$c_1 \neq 0$ であれば

$y_1=-\frac{1}{c_1}(c_2\,y_2+\cdots+c_n\,y_n)$

$\cdots\cdots$

$(2)$ となって「

$y_1$ が

$y_2$ ,

$\cdots$ ,

$y_n$ に一次式の形で従属する」ということです。

一次独立性・一次従属性の基本的な証明パターン　は、

ことです。