応用数学（塩田）2022年度

応用数学第2回 (1)　1階線形微分方程式

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1階線形微分方程式

Def.1　次の形の微分方程式を1階線形微分方程式と呼ぶ。

$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x) \tag{4.1}$

$x$ の関数を係数とする、

$y$ と

$y'$ の一次の ( = 線形の ) 方程式、という意味です。

Th.2　

$(4.1)$ の一般解は

$y=e^{-\int P\,dx}\left\{ \int \left( e^{\int P\,dx} \times Q \right)\,dx + C \right\} \tag{4.2}$

証明　天下り的ですが、

$\dps{\frac{d}{dx}\left(e^{\int P\,dx} y\right) = e^{\int P\,dx}\left(\frac{dy}{dx}+Py\right)=e^{\int P\,dx}\times Q}$ なので、両辺を積分すればおしまいです。(証明終)

Th.2 の別証明

　今度は

上手に

$y(x)=u(x)v(x)$ の形に分解して

$(4.1)$ を見易くする

という作戦を取ってみます。

$y=uv$ のとき

$\dps{\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}}$ ですから、これを

$(4.1)$ へ入れると

$\dps{u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}＋Puv=Q}$ ∴　

$\dps{u\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right) + v\frac{du}{dx}=Q}$

$\cdots$

$(a)$ ここで

$\dps{\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right)=0}$

$\cdots$

$(b)$ を満たすように関数

$v(x)$ を定めましょう。これは変数分離形で

$\dps{\frac{dv}{dx}=-Pv}$

$\dps{\int\frac{dv}{v}=\log v =-\int P\,dx}$ ∴　

$\dps{v=e^{-\int P\,dx}}$

$\cdots$

$(c)$

$(b)$ ,

$(c)$ を

$(a)$ に入れて

$\dps{\frac{du}{dx}=e^{\int P\,dx} \times Q}$ ∴　

$\dps{u=\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx+C}$ これと

$(c)$ を

$y=uv$ に入れれば

$(4.2)$ が得られます。

例題

Ex.3 ( 問 4.1 (5) )　

$y' \cos x+ y\, \sin x = 1$

解　

$\cos x$ で割れば

$\dps{y' + y\, \tan x = \frac{1}{\cos x}}$ の形で、

$P=\tan x$ ,

$Q=\dps{\frac{1}{\cos x}}$ の場合です。

$\dps{\int P\,dx=\int \tan x\, dx = - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx = -\log(\cos x)}$

$\dps{e^{\int P\,dx}=\frac{1}{\cos x}}$

$\dps{\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx=\int\frac{1}{\cos^2 x}}dx = \tan x + C$ よって

$\dps{y=\cos x(\tan x + C) = \sin x + C \cos x}$ .
※　途中、

$\dps{\int P\,dx}$ では積分定数を省略していますが、

$P$ の原始関数が1つ欲しいだけですので構いません。

やってみよう ( 問 4.1 (1) )　

$y'+y=x$

Th.2 を用いた解を見る

解を折りたたむ　

$P=1$ ,

$Q=x$ の場合で

$\dps{\int P\,dx=x}$ ,

$v=e^{-x}$

$\begin{align} \therefore y =e^{-x}\left(\int e^x x \, dx\right) &=e^{-x}\left(e^x x - \int e^x \,dx\right) \\ &=e^{-x}\left(e^x x - e^x + C\right) =x - 1 + Ce^{-x}.\\ \end{align}$

Th.2 を用いない別解も見てみる

別解を折りたたむ　

$y''+y'=1$ ,

$y'''+y''=0$ となるので

$y''=Ce^{-x}$ ,

$y'=-Ce^{-x}+D$ ,

$y=Ce^{-x}+Dx+E$ すると

$y'+y=Dx +(D+E)=x$ ゆえ

$D=1$ ,

$E=-1$ で

$y=x-1+Ce^{-x}$ .

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