応用数学 第2回 (1) 1階線形微分方程式

1階線形微分方程式

Def.1 次の形の微分方程式を1階線形微分方程式と呼ぶ。 $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x) \tag{4.1} $$
 $x$ の関数を係数とする、$y$ と $y'$ の一次の ( = 線形の ) 方程式、という意味です。
Th.2 $(4.1)$ の一般解は $$ y=e^{-\int P\,dx}\left\{ \int \left( e^{\int P\,dx} \times Q \right)\,dx + C \right\} \tag{4.2} $$
証明 天下り的ですが、
$\dps{\frac{d}{dx}\left(e^{\int P\,dx} y\right) = e^{\int P\,dx}\left(\frac{dy}{dx}+Py\right)=e^{\int P\,dx}\times Q}$
なので、両辺を積分すればおしまいです。(証明終)

Th.2 の別証明

 今度は
上手に $y(x)=u(x)v(x)$ の形に分解して $(4.1)$ を見易くする
という作戦を取ってみます。$y=uv$ のとき
$\dps{\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}}$
ですから、これを $(4.1)$ へ入れると
$\dps{u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}+Puv=Q}$
∴ $\dps{u\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right) + v\frac{du}{dx}=Q}$  $\cdots$ $(a)$
ここで
$\dps{\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right)=0}$  $\cdots$ $(b)$
を満たすように関数 $v(x)$ を定めましょう。これは変数分離形で
$\dps{\frac{dv}{dx}=-Pv}$
$\dps{\int\frac{dv}{v}=\log v =-\int P\,dx}$
∴ $\dps{v=e^{-\int P\,dx}}$  $\cdots$ $(c)$
$(b)$, $(c)$ を $(a)$ に入れて
$\dps{\frac{du}{dx}=e^{\int P\,dx} \times Q}$
∴ $\dps{u=\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx+C}$
これと $(c)$ を $y=uv$ に入れれば $(4.2)$ が得られます。

例題

Ex.3 ( 問 4.1 (5) ) $y' \cos x+ y\, \sin x = 1$
 $\cos x$ で割れば
$\dps{y' + y\, \tan x = \frac{1}{\cos x}}$
の形で、$P=\tan x$, $Q=\dps{\frac{1}{\cos x}}$ の場合です。
$\dps{\int P\,dx=\int \tan x\, dx = - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx = -\log(\cos x)}$
$\dps{e^{\int P\,dx}=\frac{1}{\cos x}}$
$\dps{\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx=\int\frac{1}{\cos^2 x}}dx = \tan x + C$
よって
$\dps{y=\cos x(\tan x + C) = \sin x + C \cos x}$.

※ 途中、$\dps{\int P\,dx}$ では積分定数を省略していますが、$P$ の原始関数が1つ欲しいだけですので構いません。

やってみよう ( 問 4.1 (1) ) $y'+y=x$