応用数学 第13回 (4) ラプラス逆変換の計算例
$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$
ラプラス逆変換の計算例
Ex.8 ( 表 I 11 ) $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{(s-\mu)^2}\right)=e^{\mu t}\Big(a+(b+\mu a)t\Big)}$
$\because$ まず
$\dps{
\frac{as+b}{(s-\mu)^2}
=\frac{a(s-\mu)}{(s-\mu)^2}+\frac{b+\mu a}{(s-\mu)^2}
=\frac{a}{(s-\mu)}+\frac{b+\mu a}{(s-\mu)^2}
}$
と分けます。
表 I 3 より
$\dps{\LT^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=1}$,
$\dps{\qquad\LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right)=t}$
ゆえ、
表 II 1, 5 と合わせて
\begin{align}
\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{(s-\mu)^2}\right)
&=a \LT^{-1}\left(\frac{1}{s-\mu}\right) + (b+\mu a) \LT^{-1}\left(\frac{1}{(s-\mu)^2}\right) \\
&=a\ e^{\mu t} \LT^{-1}\left(\frac{1}{s}\right) + (b+\mu a)\ e^{\mu t} \LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right) \\
&=e^{\mu t}\Big( a + (b+\mu a) t \Big). \\
\end{align}
例 3.1 (4) $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{s+5}{s^2-2s+5}\right)=}$ ?
分母 $=(s-1)^2+2^2$ なので
表 I 9-10 の $\lambda=2$ の場合
$\dps{\LT^{-1}\left(\frac{2}{s^2+2^2}\right)=\sin(2t)}$,
$\dps{\qquad\LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+2^2}\right)=\cos(2t)}$
が使えそうだな、と考えます。$(s-1)$ に着目して
$\dps{
\frac{s+5}{s^2-2s+5}
=\frac{(s-1)+6}{(s-1)^2+2^2}
=\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}
+3\frac{2}{(s-1)^2+2^2}
}$
と分けます。
Ex.8 と同様にして
\begin{align}
\LT^{-1}\left(\frac{s+5}{s^2-2s+5}\right)
&=\LT^{-1}\left(\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}\right) + 3 \LT^{-1}\left(\frac{2}{(s-1)^2+2^2}\right) \\
&=\ e^{t} \LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+2^2}\right) + 3 e^{t} \LT^{-1}\left(\frac{2}{s^2+2^2}\right) \\
&=e^{t}\Big( \cos(2t)+3\sin(2t) \Big). \\
\end{align}
例 3.2 (1) $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{2s+7}{s^2+5s+6}\right)=}$ ?
今度は分母 $=(s+2)(s+3)$ なので部分分数を使ってみましょう。
$\dps{
\frac{2s+7}{s^2+5s+6}
=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3}
}$
とおくと
$2s+7=A(s+3)+B(s+2)$
$s=-2$ を入れて $A=3$, $s=-3$ を入れて $B=-1$ がわかり、
表 I 6 から
\begin{align}
\LT^{-1}\left(\frac{2s+7}{s^2+5s+6}\right)
&=3\LT^{-1}\left(\frac{1}{s+2}\right) - \LT^{-1}\left(\frac{1}{s+3}\right) \\
&=3 e^{-2t} -e^{-3t}. \\
\end{align}
例 3.3 (2) $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{\lambda^2}{(s^2+\lambda^2)^2}\right)=}$ ?
これは
表 II 10 合成法則
$\dps{\LT^{-1}(FG)=\LT^{-1}(F)\ast\LT^{-1}(G)}$
を使う例です。
\begin{align}
\LT^{-1}\left(\frac{\lambda^2}{(s^2+\lambda^2)^2}\right)
&=\LT^{-1}\left(\frac{\lambda}{s^2+\lambda^2}\right) \ast \LT^{-1}\left(\frac{\lambda}{s^2+\lambda^2}\right) \\
&=\sin(\lambda t) \ast \sin(\lambda t) \\
&= \int_0^t \sin(\lambda(t-u))\,\sin(\lambda u)\,du \\
&= \frac{1}{2}\int_0^t \Big\{\cos(\lambda(t-2u))-\cos(\lambda t)\Big\}\,du \\
&= \frac{1}{2}\Bigg[ \Big\{\frac{1}{-2\lambda}\sin(\lambda(t-2u))-\cos(\lambda t)u \Big\}\Bigg]_0^t \\
&= \frac{1}{2} \Big\{\frac{1}{\lambda}\sin(\lambda t)-t\cos(\lambda t) \Big\}. \\
\end{align}
分数式のラプラス逆変換のポイント
分数式は
$\dps{\frac{1}{(s-\mu)^n}}$,
$\dps{\frac{\lambda}{(s-\mu)^2+\lambda^2}}$,
$\dps{\frac{(s-\mu)}{(s-\mu)^2+\lambda^2}}$,
$\dps{\frac{\lambda}{(s-\mu)^2-\lambda^2}}$,
$\dps{\frac{(s-\mu)}{(s-\mu)^2-\lambda^2}}$
の形の分数式を組み合わせた形に書き直し、
必要なら最後の例のように合成法則を使います。