応用数学 第11回 (3) フーリエ変換の例

Ex.8 $f(x)=e^{-\alpha x^2}$  ならば   $\dps{\hat f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\alpha}}e^{-t^2/(4\alpha)}}$.
 特に $\alpha=\frac{1}{2}$ とすれば、
Cor.9 $\dps{f(x)=e^{-x^2/2}}$ $\Rightarrow$ $\hat f=f$.
証明 Th.4 (3) より \begin{align} \frac{d}{dt}\hat f(t) &= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x) e^{-itx}dx \\ &= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{-\alpha x^2} e^{-itx}dx \\ &= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}} \Big\{ \Big[-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha x^2} e^{-itx} \Big]_{-\infty}^{\infty} -\frac{it}{2\alpha} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} e^{-itx}dx \Big\}\\ &= \frac{-i}{\sqrt{2\pi}} \Big\{ 0 - \frac{it}{2\alpha} \sqrt{2\pi}\hat f(t) \Big\} = - \frac{t}{2\alpha} \hat f(t) \\ ∴ \frac{d\hat f}{\hat f}&=-\frac{t}{2\alpha}dt \\ ∴ \hat f & =Ce^{-t^2/(4\alpha)} \\ \end{align} $t=0$ を入れると、 ガウス積分の公式 $\dps{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}}$ が使えて
$\dps{C=\hat f(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{2\alpha}}}$.
(証明終)