応用数学 第11回 (2)　公式集
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公式集

　例によって、新しい道具を定義したら公式をたくさん作りましょう。
Th.4　(1)　( 線形性 ) $h(x)=af(x)+b\,g(x)$ ならば   $\hat h(t) = a\hat f(t)+b\,\hat g(t)$
  1. $f(x)$ が微分可能で   $\dps{\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0}$   ならば   $\dps{\widehat{(f')}(t)=it\hat f(t)}$
  2. $g(x)=xf(x)$ のとき   $\dps{\hat g(t)=i(\hat f)'(t)}$
  3. $g(x)=f(ax)$ のとき   $\dps{\hat g(t)=\frac{1}{|\,a\,|}\hat f\left(\frac{t}{a}\right)}$
  4. $g(x)=f(x-a)$ のとき   $\dps{\hat g(t)=e^{-iat}\hat f(t)}$
証明　(1)　は積分の線形性より。
  1. $|\,e^{i\theta}\,|=1$ ゆえ、仮定より \begin{align} \widehat{(f')}(t) &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f'(x)e^{-itx}dx \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{\Big[f(x)e^{-itx}\Big]_{-\infty}^{\infty} -(-it)\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}dx\right\} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left\{0-0+it\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-itx}dx\right\}=it\hat f(t) \\ \end{align}
  2. $\dps{i(\hat f)'(t) =i\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}f(x)e^{-itx}dx =i\int_{-\infty}^{\infty}f(x)(-ix)e^{-itx}dx =\hat g(t)}$
  3. $\dps{\hat g(t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(ax)e^{-itx}dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{|\,a\,|}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-i(t/a)u}du =\frac{1}{|\,a\,|}\hat f\left(\frac{t}{a}\right)}$
  4. $\dps{\hat g(t) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x-a)e^{-itx}dx =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-it(u+a)}du =e^{-iat}\hat f(t)}$
(証明終)

畳み込み

Def.5　2 つの関数 $f(x)$, $g(x)$ の「畳み込み ( 合成積、convolution ) 」とは
$\dps{(f\ast g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)\,g(y)\,dy}$
によって定められる関数 $f\ast g$ のこと。
Rem.6　畳み込みは制御工学の基本的な道具です。
  • 信号処理に於いては　( 出力 ) $=$ ( 入力 ) $*$ ( インパルス応答 )
    ... インパルス応答とは言わばパルス信号の出力で、システムの特性を表します
  • 音響工学に於いては　( エコー ) $=$ ( 音 ) $*$ ( インパルス応答 )
    ... カラオケのエコーもこの式を使って作られています。
  • 画像処理においては　( ぶれ ) $=$ ( ピントの合った画像 ) $*$ ( 絞りの特性 )
  • 確率論においては　( $X+Y$ の確率密度 ) $=$ ( $X$ の確率密度 ) $*$ ( $Y$ の確率密度 )
  • 多項式演算においては積の計算式　$c_n=\sum a_i\,b_{n-i}$　が離散的な畳み込みになります。 etc.
Th.7　$h=f*g$  ならば  $\hat h = \sqrt{2\pi}\,\hat f \hat g$
証明

\begin{align} \sqrt{2\pi}\hat h &=\int_{-\infty}^{\infty} \Big\{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)g(y)dy \Big\} e^{-itx}dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \Big\{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x-y)e^{-itx}dx \Big\} g(y)dy \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \Big\{ e^{-ity}\sqrt{2\pi}\hat f(t) \Big\} g(y)dy \\ &=\sqrt{2\pi}\hat f(t) \int_{-\infty}^{\infty} g(y)e^{-ity}dy = (\sqrt{2\pi})^2\hat f(t) \,\hat g(t) \\ \end{align} (証明終)


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