応用数学 第2回 (2) 定数変化法

定数変化法

 さっきの別証明は次のようにも解釈できます。
  1. $(4.1)$ の右辺を一旦 $=0$ にしてみます: $$ \frac{dy}{dx}+Py=0 \tag{4.7} $$
  2. これは変数分離形で、解は 別証明 の $v(x)$ を用いて $$ y=A\,v(x),   v(x) = \,e^{-\int P \, dx} \tag{4.8} $$ と書けます。
  3. 定数 $A$ のところへ未知関数 $u(x)$ を入れて $(4.1)$ の解を探したのが 別証明 です。
Rem.4 このように
  1. 一旦解きやすい形 ( 右辺$=0$ とか ) にして解いて
  2. 任意定数の所を関数に変えて解を探す
というテクニックを「定数変化法」と言い、いろんな微分方程式で使われます。
※ $(4.1)$ の右辺を $=0$ とした $(4.7)$ 式は「$(4.1)$ の補助方程式」と呼ばれ、 一般の線形微分方程式でも大切な概念です。