戻る / 次へ

1階線形微分方程式

　$x$ の関数を係数とする、$y$ と $y'$ の一次の ( = 線形の ) 方程式、という意味です。 証明　天下り的ですが、 $\dps{\frac{d}{dx}\left(e^{\int P\,dx} y\right) = e^{\int P\,dx}\left(\frac{dy}{dx}+Py\right)=e^{\int P\,dx}\times Q}$

なので、両辺を積分すればおしまいです。(証明終)

別証明　今度は 「上手に $y(x)=u(x)v(x)$ の形に分解して $(4.1)$ を見易くする」 という作戦を取ってみます。$y=uv$ のとき $\dps{\frac{dy}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}}$ ですから、これを $(4.1)$ へ入れると $\dps{u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}＋Puv=Q}$ ∴　$\dps{u\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right) + v\frac{du}{dx}=Q}$  $\cdots$ $(a)$ ここで $\dps{\left(\frac{dv}{dx}+Pv\right)=0}$  $\cdots$ $(b)$ を満たすように関数 $v(x)$ を定めましょう。これは変数分離形で $\dps{\frac{dv}{dx}=-Pv}$ $\dps{\int\frac{dv}{v}=\log v =-\int P\,dx}$ ∴　$\dps{v=e^{-\int P\,dx}}$  $\cdots$ $(c)$ $(b)$, $(c)$ を $(a)$ に入れて $\dps{\frac{du}{dx}=e^{\int P\,dx} \times Q}$ ∴　$\dps{u=\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx+C}$ これと $(c)$ を $y=uv$ に入れれば $(4.2)$ が得られます。 解　$\cos x$ で割れば $\dps{y' + y\, \tan x = \frac{1}{\cos x}}$ の形で、$P=\tan x$, $Q=\dps{\frac{1}{\cos x}}$ の場合です。 $\dps{\int P\,dx=\int \tan x\, dx = - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx = -\log(\cos x)}$ $\dps{e^{\int P\,dx}=\frac{1}{\cos x}}$ $\dps{\int e^{\int P\,dx} \times Q\,dx=\int\frac{1}{\cos^2 x}}dx = \tan x + C$ よって $\dps{y=\cos x(\tan x + C) = \sin x + C \cos x}$.
※　途中、$\dps{\int P\,dx}$ では積分定数を省略していますが、$P$ の原始関数が1つ欲しいだけですので構いません。

戻る / 次へ