応用数学（塩田）2020年度

応用数学第14回 (3)　定数係数２階線形微分方程式再考

前へ / 戻る / 次へ

$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$

定数係数２階線形微分方程式をラプラス変換で

問　

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} ax''+bx'+cx=f(t) \\ x(0)=C_0,\ x'(0)=C_1.　\\ \end{array} \right.}$

$\cdots$

$(\ast)$

を例 4.1 (3) と同様にして解いてみます。

$X(s)=\LT(x(t))$ とおくと

$\begin{align} \LT(ax''+bx'+cx) &=a(s^2X-sx(0)-x'(0))+b(sX-x(0))+cX \\ &=a(s^2X-C_0s-C_1)+b(sX-C_0)+cX \\ &=(as^2+bs+c)X-C_0(as+b)-C_1a \\ \end{align}$ よって

$\LT(f)=F$ とおくと

$(s^2+as+b)X=C_0(as+b)+C_1a+F$ となります。さらに

$H=as^2+bs+c$ とおくと

$\dps{X=C_0\left(\frac{as+b}{H}\right)+C_1\left(\frac{a}{H}\right)+\left(\frac{1}{H}\right)F}$ . これをラプラス逆変換して

解　

$\dps{x(t)=C_0\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{H}\right) +C_1\LT^{-1}\left(\frac{a}{H}\right)+ \LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right) \ast f(t)}$

$\cdots$

$(\sharp)$

解 $(\sharp)$ の解釈

　前ページの RLC 回路がそうであるように、

$(\ast)$ で表されるシステムでは得てして

$a$ , $b$ , $c$ はシステムで決まっている定数
$f(t)$ は入力 ( 外力、とも言う )
$x(t)$ は出力 ( 応答関数、とも言う )

です。すると

$\dps{x_0(t)=\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{H}\right)}$ ,

$\dps{x_1(t)=\LT^{-1}\left(\frac{a}{H}\right)}$ ,

$\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$ は全てシステムによって決まっている関数であり、解

$x(t)$ は

$\dps{x(t)=C_0\,x_0(t)+C_1\,x_1(t)+w(t) \ast f(t)}$ . と書ける

ことになります。そして

$x_0(t)$ , $x_1(t)$ は補助方程式 ( 右辺 $f(t)=0$ の場合 ) の解の基底である。
初期条件の $C_0=x(0)$ , $C_1=x'(0)$ はその結合係数として解に関与する。
外力 $f(t)$ は畳み込みの形で解に関与する。

と解釈することができます。

インパルス応答

　ところで、ディラックのデルタ関数

$\delta(t)$ は次の意味で「畳み込みに関する単位元」と言えます：

Prop.2　任意の関数

$g(t)$ に対して

$g(t) \ast \delta(t) = g(t)$ .

証明　

$\LT(g \ast \delta) = \LT(g) \times \LT(\delta) = \LT(g) \times 1 = \LT(g)$ . よって

$g \ast \delta =g$ . (証明終)

　この命題から、外力

$f(t)$ の畳み込みの相手

$\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$ については次のことがわかります。

Rem.3　

$w(t)$ は、初期条件が

$C_0=C_1=0$ 、外力が

$f(t)=\delta(t)$ のときの解である。

　制御工学・電気工学では

$H$ をインピーダンス ( 特性関数 )
$\dps{\frac{1}{H}}$ を伝達関数
$\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$ をインパルス応答
$\delta(t)$ を単位インパルス

などとと呼びます。インパルス応答

$w(t)$ は初期条件にも外力にも依らず、システムの特性を表す重要な関数で、

スピーカーの設計
デジタル信号処理

などにも応用されます。実際のシステムでは単位インパルス

$\delta(t)$ に近い短いパルスを入力したときの出力として測定したりします。

前へ / 戻る / 次へ