応用数学 第14回 (3) 定数係数２階線形微分方程式再考
$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$
定数係数２階線形微分方程式をラプラス変換で
問
$\dps{
\left\{
\begin{array}{l}
ax''+bx'+cx=f(t) \\
x(0)=C_0,\ x'(0)=C_1. \\
\end{array}
\right.}$
$\cdots$ $(\ast)$
を例 4.1 (3) と同様にして解いてみます。$X(s)=\LT(x(t))$ とおくと
\begin{align}
\LT(ax''+bx'+cx)
&=a(s^2X-sx(0)-x'(0))+b(sX-x(0))+cX \\
&=a(s^2X-C_0s-C_1)+b(sX-C_0)+cX \\
&=(as^2+bs+c)X-C_0(as+b)-C_1a \\
\end{align}
よって $\LT(f)=F$ とおくと
$(s^2+as+b)X=C_0(as+b)+C_1a+F$
となります。さらに $H=as^2+bs+c$ とおくと
$\dps{X=C_0\left(\frac{as+b}{H}\right)+C_1\left(\frac{a}{H}\right)+\left(\frac{1}{H}\right)F}$.
これをラプラス逆変換して
解
$\dps{x(t)=C_0\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{H}\right)
+C_1\LT^{-1}\left(\frac{a}{H}\right)+
\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right) \ast f(t)}$
$\cdots$ $(\sharp)$
解 $(\sharp)$ の解釈
前ページの RLC 回路がそうであるように、$(\ast)$ で表されるシステムでは得てして
- $a$, $b$, $c$ はシステムで決まっている定数
- $f(t)$ は入力 ( 外力、とも言う )
- $x(t)$ は出力 ( 応答関数、とも言う )
です。すると
$\dps{x_0(t)=\LT^{-1}\left(\frac{as+b}{H}\right)}$,
$\dps{x_1(t)=\LT^{-1}\left(\frac{a}{H}\right)}$,
$\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$
は全てシステムによって決まっている関数であり、解 $x(t)$ は
$\dps{x(t)=C_0\,x_0(t)+C_1\,x_1(t)+w(t) \ast f(t)}$.
と書ける
ことになります。そして
- $x_0(t)$, $x_1(t)$ は補助方程式 ( 右辺 $f(t)=0$ の場合 ) の解の基底である。
- 初期条件の $C_0=x(0)$, $C_1=x'(0)$ はその結合係数として解に関与する。
- 外力 $f(t)$ は畳み込みの形で解に関与する。
と解釈することができます。
インパルス応答
ところで、ディラックのデルタ関数 $\delta(t)$ は次の意味で「畳み込みに関する単位元」と言えます：
Prop.2 任意の関数 $g(t)$ に対して $g(t) \ast \delta(t) = g(t)$.
証明
$\LT(g \ast \delta) = \LT(g) \times \LT(\delta) = \LT(g) \times 1 = \LT(g)$.
よって $g \ast \delta =g$. (証明終)
この命題から、外力 $f(t)$ の畳み込みの相手 $\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$ については
次のことがわかります。
Rem.3 $w(t)$ は、初期条件が $C_0=C_1=0$、外力が $f(t)=\delta(t)$ のときの解である。
制御工学・電気工学では
- $H$ をインピーダンス ( 特性関数 )
- $\dps{\frac{1}{H}}$ を伝達関数
- $\dps{w(t)=\LT^{-1}\left(\frac{1}{H}\right)}$ をインパルス応答
- $\delta(t)$ を単位インパルス
などとと呼びます。インパルス応答 $w(t)$ は初期条件にも外力にも依らず、
システムの特性を表す重要な関数で、
などにも応用されます。
実際のシステムでは単位インパルス $\delta(t)$ に近い短いパルスを入力したときの出力として測定したりします。