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ラプラス逆変換の計算例

$\because$　まず $\dps{ \frac{as+b}{(s-\mu)^2} =\frac{a(s-\mu)}{(s-\mu)^2}+\frac{b+\mu a}{(s-\mu)^2} =\frac{a}{(s-\mu)}+\frac{b+\mu a}{(s-\mu)^2} }$ と分けます。表 I 3 より $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=1}$, $\dps{\qquad\LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right)=t}$ ゆえ、表 II 1, 5 と合わせて \begin{align} \LT^{-1}\left(\frac{as+b}{(s-\mu)^2}\right) &=a \LT^{-1}\left(\frac{1}{s-\mu}\right) + (b+\mu a) \LT^{-1}\left(\frac{1}{(s-\mu)^2}\right) \\ &=a\ e^{\mu t} \LT^{-1}\left(\frac{1}{s}\right) + (b+\mu a)\ e^{\mu t} \LT^{-1}\left(\frac{1}{s^2}\right) \\ &=e^{\mu t}\Big( a + (b+\mu a) t \Big). \\ \end{align} 　分母 $=(s-1)^2+2^2$ なので 表 I 9-10 の $\lambda=2$ の場合 $\dps{\LT^{-1}\left(\frac{2}{s^2+2^2}\right)=\sin(2t)}$, $\dps{\qquad\LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+2^2}\right)=\cos(2t)}$ が使えそうだな、と考えます。$(s-1)$ に着目して $\dps{ \frac{s+5}{s^2-2s+5} =\frac{(s-1)+6}{(s-1)^2+2^2} =\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2} +3\frac{2}{(s-1)^2+2^2} }$ と分けます。Ex.8 と同様にして \begin{align} \LT^{-1}\left(\frac{s+5}{s^2-2s+5}\right) &=\LT^{-1}\left(\frac{s-1}{(s-1)^2+2^2}\right) + 3 \LT^{-1}\left(\frac{2}{(s-1)^2+2^2}\right) \\ &=\ e^{t} \LT^{-1}\left(\frac{s}{s^2+2^2}\right) + 3 e^{t} \LT^{-1}\left(\frac{2}{s^2+2^2}\right) \\ &=e^{t}\Big( \cos(2t)+3\sin(2t) \Big). \\ \end{align} 　今度は分母 $=(s+2)(s+3)$ なので部分分数を使ってみましょう。 $\dps{ \frac{2s+7}{s^2+5s+6} =\frac{A}{s+2}+\frac{B}{s+3} }$ とおくと $2s+7=A(s+3)+B(s+2)$ $s=-2$ を入れて $A=3$, $s=-3$ を入れて $B=-1$ がわかり、表 I 6 から \begin{align} \LT^{-1}\left(\frac{2s+7}{s^2+5s+6}\right) &=3\LT^{-1}\left(\frac{1}{s+2}\right) - \LT^{-1}\left(\frac{1}{s+3}\right) \\ &=3 e^{-2t} -e^{-3t}. \\ \end{align} 　これは 表 II 10 合成法則 $\dps{\LT^{-1}(FG)=\LT^{-1}(F)\ast\LT^{-1}(G)}$ を使う例です。 \begin{align} \LT^{-1}\left(\frac{\lambda^2}{(s^2+\lambda^2)^2}\right) &=\LT^{-1}\left(\frac{\lambda}{s^2+\lambda^2}\right) \ast \LT^{-1}\left(\frac{\lambda}{s^2+\lambda^2}\right) \\ &=\sin(\lambda t) \ast \sin(\lambda t) \\ &= \int_0^t \sin(\lambda(t-u))\,\sin(\lambda u)\,du \\ &= \frac{1}{2}\int_0^t \Big\{\cos(\lambda(t-2u))-\cos(\lambda t)\Big\}\,du \\ &= \frac{1}{2}\Bigg[ \Big\{\frac{1}{-2\lambda}\sin(\lambda(t-2u))-\cos(\lambda t)u \Big\}\Bigg]_0^t \\ &= \frac{1}{2} \Big\{\frac{1}{\lambda}\sin(\lambda t)-t\cos(\lambda t) \Big\}. \\ \end{align}

分数式のラプラス逆変換のポイント

　分数式は $\dps{\frac{1}{(s-\mu)^n}}$,  $\dps{\frac{\lambda}{(s-\mu)^2+\lambda^2}}$,  $\dps{\frac{(s-\mu)}{(s-\mu)^2+\lambda^2}}$,  $\dps{\frac{\lambda}{(s-\mu)^2-\lambda^2}}$,  $\dps{\frac{(s-\mu)}{(s-\mu)^2-\lambda^2}}$ の形の分数式を組み合わせた形に書き直し、 必要なら最後の例のように合成法則を使います。

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