応用数学 第13回 (2) ラプラス変換の基本法則 その２
$\newcommand{\LT}{\mathscr{L}}$
ラプラス変換の基本法則 その２ ( 教科書 p.49 の 表 II 後半 )
Th.3 (6) 微分法則
$\LT(f'(t)) = sF(s)-f(0)$,
$\LT(f^{(n)}(t)) = s^nF(s)-f(0)s^{n-1}-f'(0)s^{n-2}-\cdots-f^{n-1}(0)$ ( $s \gt 0$ ).
- 像の微分法則
$\LT(-tf(t))=F'(s)$,
$\LT((-t)^nf(t))=F^{(n)}(s)$.
- 積分法則
$\dps{\LT\left(\int_0^t f(t)dt\right)=\frac{1}{s}F(s)}$,
$\dps{\LT\Bigg(\underbrace{\int_0^t\cdots\int_0^t}_{n \mbox{ times}} f(t)dt\cdots dt\Bigg)=\frac{1}{s^n}F(s)}$.
- 像の積分法則
$\dps{\LT\left(\frac{1}{t}f(t)\right)=\int_s^{\infty}F(s)ds}$,
$\dps{\LT\left(\frac{1}{t^n}f(t)\right)=\underbrace{\int_s^{\infty}\cdots\int_s^{\infty}}_{n \mbox{ times}} F(s)ds\cdots ds}$.
証明 (6)
\begin{align}
\LT(f'(t))
&=\int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}dt \\
&=\Big[f(t)e^{-st}\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt
= -f(0)+sF(s).
\end{align}
(7)
\begin{align}
F'(s)
&=\int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial s}f(t)e^{-st}dt \\
&=\int_0^{\infty} (-t)f(t)e^{-st}dt
=\LT(-tf(t)).
\end{align}
(8) $\dps{g(t)=\int_0^t f(t)dt}$ とおくと、$g'=f$, $\ g(0)=0$ ゆえ (6) より
$F=\LT(f)=\LT(g')=s\LT(g)$
$\therefore$ $\dps{\LT(g)=\frac{1}{s}F(s).}$
(9)
\begin{align}
\int_s^{\infty} F(s)ds
&= \int_s^{\infty} \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt\, ds \\
&= \int_0^{\infty} f(t) \int_s^{\infty} e^{-st} ds\, dt \\
&= \int_0^{\infty} f(t) \Big[ -\frac{1}{t} e^{-st}\Big]_s^{\infty} dt \\
&= \int_0^{\infty} \frac{1}{t} f(t) e^{-st} dt
=\LT\left(\frac{1}{t} f(t)\right).
\end{align}
それぞれ２つ目の式はこれらの繰り返しです。(証明終)
例
Ex.4 $\LT(t\cos(\lambda t))=$ ？
解 表 I 10 より
$\dps{\LT(\cos(\lambda t))=\frac{s}{s^2+\lambda^2}}$
ゆえ、(7) より
\begin{align}
\LT(t\cos(\lambda t))
&=-\frac{d}{ds} \left( \frac{s}{s^2+\lambda^2} \right) \\
&=-\frac{(s^2+\lambda^2) - s(2s)}{(s^2+\lambda^2)^2}
=\frac{s^2-\lambda^2}{(s^2+\lambda^2)^2} . \\
\end{align}
Ex.5 $\dps{\LT\left(\frac{\sin(t)}{t}\right)=}$ ？
解 表 I 9 より
$\dps{\LT(\sin(t))=\frac{1}{s^2+1}}$
ゆえ、(9) より
\begin{align}
\LT\left(\frac{\sin(t)}{t}\right)
&=\int_s^{\infty} \frac{1}{s^2+1} ds \\
&=\Big[\tan^{-1}(s)\Big]_s^{\infty}
=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1}(s). \\
\end{align}