応用数学 第9回 (4)　フーリエ展開の例
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偶関数・奇関数のフーリエ係数

Rem.9　$f(x)$ のフーリエ係数について
  • $f(x)$ が偶関数ならば $b_n=0$ ( $\forall n \geqq 1$ )
  • $f(x)$ が奇関数ならば $a_n=0$ ( $\forall n \geqq 0$ )
が成り立ちます。
ただし
  • $f(x)$ が偶関数とは $f(-x)=\ \ \ f(x)$, $\forall x$ が成り立つこと
  • $f(x)$ が奇関数とは $f(-x)=-f(x)$, $\forall x$ が成り立つこと
で、Th.4 $(\star)$ で $t=-x$ と置換すれば示せます。

例

Ex.10　$f(x)$ を、$x$ ( $-\pi \lt x \leqq \pi$ ) を周期 $2\pi$ で貼り合わせた関数
とするとき \begin{align} f(x) &=2\,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \\ &=2 \left(\frac{\sin(x)}{1}-\frac{\sin(2x)}{2}+\frac{\sin(3x)}{3}-\frac{\sin(4x)}{4}+\cdots\right) \\ \end{align}
$\mbox{if }\ x \neq (2k+1)\pi$
証明　$f(x)$ は不連続点を除いては奇関数ゆえ $\forall a_n=0$ であり、 \begin{align} b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx \\ &= \frac{1}{\pi}\Big\{\left[-\frac{1}{n}x\cos(nx)\right]_{-\pi}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx\Big\} =2\frac{(-1)^{n+1}}{n} \\ \end{align} (証明終)

　なお $x=(2k+1)\pi$ では右辺 $=0$ ですが、
$\dps{\frac{1}{2}(f(x-0)+f(x+0))= \frac{1}{2}(\pi + (-\pi)) =0}$
となって Th.8 (2) のとおりになっています。
Cor.11 ( ライプニッツの級数 )　
$\dps{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{\pi}{4}}$
この式は Ex.10 で $\dps{x=\frac{\pi}{2}}$ とおけば得られます。 フーリエ展開はこのような級数和の公式をたくさん産み出します。

次の例

Ex.12　$f(x)$ を、$\pi-|\,x\,|$ ( $-\pi \lt x \leqq \pi$ ) を周期 $2\pi$ で貼り合わせた関数
とするとき \begin{align} f(x) &=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\sum_{\mbox{$n:$奇数$\geqq 1$}}\frac{1}{n^2}\cos(nx) \\ &=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\left(\frac{\cos(x)}{1^2}+\frac{\cos(3x)}{3^2}+\frac{\cos(5x)}{5^2}\cdots\right) \\ \end{align}
証明　$f(x)$ は偶関数ゆえ $\forall\, b_n=0$ であり、 \begin{align} a_0 &= \frac{1}{\pi} \times 2 \int_{0}^{\pi} (\pi-x) dx = \frac{1}{\pi} \times 2 \frac{\pi^2}{2} = \pi , \\ a_n &= \frac{1}{\pi}\times 2\int_{0}^{\pi}(\pi-x)\cos(nx)dx \\ &= \frac{2}{\pi}\Big\{\left[\frac{1}{n}(\pi-x)\sin(nx)\right]_{0}^{\pi} +\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)dx\Big\} \\ &= \frac{2}{\pi}\left\{0+\frac{1}{n}\left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_{0}^{\pi}\right\} =\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{4}{\pi n^2}} & n: \mbox{奇数} \\ 0 & n: \mbox{偶数} \geqq 2 \\ \end{array} \right.\\ \end{align} (証明終)

Cor.13　
  1. $\dps{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}}$
  2. $\dps{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}}$
証明　Ex.12 で $x=0$ とおけば
$\dps{\pi=\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi}\left(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\right)}$
となり、(1) が言えます。(2) は、
$\dps{S=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots}$
とおくと、 \begin{align} S-\frac{1}{2^2}S &=\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right) -\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\cdots\right) \\ &=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8} \\ \end{align} より。 (証明終)

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