応用数学（塩田）2020年度

応用数学第7回 (3)　 $f(D)$ の公式

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$f(D)$ の公式

　新しい道具を定義しましたので、公式をたくさん用意しましょう。

Th.4　

$f$ ,

$g$ を多項式、

$a$ ,

$b$ を定数、

$y$ ,

$z$ を

$x$ の関数とするとき、

$D^mD^n=D^{m+n}$ , $(D^m)^n=D^{mn}$
作用素として $aD=D\,a$
$f(D)g(D)=g(D)f(D)=(fg)(D)$
$f(D)(ay+bz)=af(D)\,y+bf(D\,)z$

　これらは、多項式の積の定義や微分の線形性などから簡単に導かれます。たとえば (2) は

$(Da)y=D(ay)=(ay)'=ay'=a(Dy)=(aD)y$ という感じです。

Th.5 ( ライプニッツの公式 )　

$\dps{D^n(yz)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)(D^k y)(D^{n-k} z)}$ ただし

$\dps{\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}}$ は二項係数です。

　これは「積の

$n$ 階微分はパスカルの三角形で書けるよ」という定理で、例えば

$(yz)'' = yz'' + 2y'z'+y''z$ ,

$(yz)''' = yz''' + 3y'z''+3y''z'+y'''z$ となります。帰納法で示せます。

Th.6　さらに

$\alpha$ を定数とすると、

$f(D)e^{\alpha x}=f(\alpha)e^{\alpha x}$
..... 指数関数に対する $f(D)$ の作用は単なる定数倍になる
$f(D)\{e^{\alpha x}y\}=e^{\alpha x}f(D+\alpha)\,y$
$f(D)\{xy\}=xf(D)y+f'(D)y$

証明　Th.4 より、いずれも

$f(D)=D^n$ のときに示せば充分です。 (1) は

$D^n e^{\alpha x}=\alpha^n e^{\alpha x}$ でおしまいで、(2), (3) は Th.5 より

$\begin{align} D^n\{e^{\alpha x}y\} &=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)(D^k e^{\alpha x})(D^{n-k} y) \\ &=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)(\alpha^k e^{\alpha x})(D^{n-k} y) \\ &= e^{\alpha x}\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)(\alpha^k)(D^{n-k} y) = e^{\alpha x}(D+\alpha)^n y, \\ \end{align}$

$\begin{align} D^n\{xy\} &=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right)(D^k x)(D^{n-k} y) \\ &=\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right)(x)(D^{n} y) + \left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right)(D\,x)(D^{n-1} y) =xD^{n} y + nD^{n-1} y\\ \end{align}$ となります。(証明終)

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