応用数学 第5回 (5) 定数変化法
定数変化法
今度は定数変化法で特殊解を求めます。
作戦
補助方程式 $(8.2)$ の一般解 $Y$ は、解空間の基底 $y_1$, $y_2$ を用いて
$Y=A\,y_1+B\,y_2$
の形をしていました。この定数 $A$, $B$ を関数 $u=u(x)$, $v=v(x)$ に置き換えた
$$
y=u\,y_1+v\,y_2
\tag{8.6}
$$
の形で $(8.1)$ の解を探しましょう。
まず
$y'=u\,y_1'+v\,y_2'+u'\,y_1+v'\,y_2$
となりますが、この後ろの 2 項が
$$
u'\,y_1+v'\,y_2=0
\tag{8.7}
$$
を満たす、という条件をつけてみます。
すると
$y''=(u\,y_1'+v\,y_2')'=u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2'$
ですから、これらを $(8.1)$ へ入れると
\begin{align}
y''&+a\,y'+b\,y \\
&=(u\,y_1''+v\,y_2''+u'\,y_1'+v'\,y_2')+a(u\,y_1'+v\,y_2')+b(u\,y_1+v\,y_2) \\
&=u\,(y_1''+a\,y_1'+b\,y_1)
+v\,(y_2''+a\,y_2'+b\,y_2)
+u'\,y_1'+v'\,y_2' \\
&= R \\
\end{align}
$y_1$, $y_2$ は補助方程式
$y''+a\,y'+b\,y=0$
の解ですから
$$
u'\,y_1'+v'\,y_2'=R
\tag{8.8}
$$
となります。
$(8.7)$, $(8.8)$ を行列を使って書き直すと
$
\dps{
\left(
\begin{array}{cc}
y_1 & y_2 \\
y_1' & y_2' \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
u' \\
v' \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
R \\
\end{array}
\right)
}$
$y_1$, $y_2$ は一次独立ですからロンスキー行列式は 0 ではありません。
$
\dps{
W=W(y_1,y_2)=
\left|
\begin{array}{cc}
y_1 & y_2 \\
y_1' & y_2' \\
\end{array}
\right|
\neq 0
}$
よって逆行列が使えて
$
\dps{
\left(
\begin{array}{c}
u' \\
v' \\
\end{array}
\right)
=
\frac{1}{W}
\left(
\begin{array}{cc}
y_2' & -y_2 \\
-y_1' & y_1 \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
R \\
\end{array}
\right)
=
\frac{1}{W}
\left(
\begin{array}{c}
-y_2R \\
y_1R \\
\end{array}
\right)
}$
∴ $\dps{u'=\frac{-y_2R}{W}}$, $\dps{v'=\frac{y_1R}{W}}$
∴ $\dps{u=\int\frac{-y_2R}{W}dx}$, $\dps{v=\int\frac{y_1R}{W}dx}$
以上から
Th.7
$y_1$, $y_2$ を補助方程式 $(8.2)$ の一次独立な 2 つの解とすると、
$\dps{y_0=-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx}$
は $(8.1)$ の特殊解である。
積分定数も考えれば、この式は
$\dps{y=\left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) + A\, y_1 + B\,y_2}$
という $(8.1)$ の一般解を書いていることにもなります。
例
Ex.8 ( 例 8.3 ) $\dps{y''+y=\frac{1}{\cos x}}$
補助方程式 $y''+y=0$ の一次独立な 2 つの解として $y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$ が取れます。
このとき $W=W(y_1,y_2)=1$ (
前回の Ex.3 ) ゆえ、
\begin{align}
y_0 &= \left(-y_1\int\frac{y_2R}{W}dx + y_2\int\frac{y_1R}{W}dx\right) \\
&=-\cos x\int\frac{\sin x\frac{1}{\cos x}}{1}dx + \sin x\int\frac{\cos x\frac{1}{\cos x}}{1}dx \\
&=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)\\
\end{align}
また一般解は
$y=(\cos x)\log(\cos x) + x(\sin x)+A\cos x+B\sin x$
となります。