応用数学 第3回 (2) 完全微分形方程式の例題
例題
Ex.6 $(3x+2y+1)dx+(2x-y-4)dy=0$
解 まず
$\dps{\frac{\partial}{\partial y}(3x+2y+1)=2}$, $\dps{\frac{\partial}{\partial x}(2x-y-4)=2}$
ですから
Th.4 より完全微分形です。
Cor.5 を適用しましょう。
$\dps{g=\int P\,dx = \int(3x+2y+1)dx=\frac{3}{2}x^2+2xy+x}$
として
\begin{align}
f
&= g + \int \left(Q-\frac{\partial}{\partial y}g\right)dy \\
&= \left(\frac{3}{2}x^2+2xy+x\right) + \int \left((2x-y-4)-(2x)\right)dy \\
&= \left(\frac{3}{2}x^2+2xy+x\right) -\frac{1}{2}y^2-4y\\
\end{align}
よって一般解は
$\dps{3x^2+4xy+2x-y^2-8y=C}$
です。
以上、
前回の Ex.4 の別解でした。