応用数学 第3回 (1) 完全微分形方程式
全微分方程式
Def.1
$$
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy=0
\tag{5.1}
$$
と書ける微分方程式を「全微分方程式」と呼ぶ。
１階常微分方程式は $(5.1)$ の形に直せることが多いです。
例えば
$\dps{\frac{dy}{dx}=y\,\tan x}$
なら
$\dps{(\tan x) \,dx + \left(-\frac{1}{y}\right)dy = 0}$
と書けます。
$(y')^2+2y'+xy=0$
なら
$y'=-1 \pm \sqrt{1-xy}$
と解いて
$(1 \mp \sqrt{1-xy})\,dx + (1)\, dy = 0$
と書けます。
完全微分形方程式
Def.2 $(5.1)$ が完全微分形 ( 完全形 ) である、とは、
ある2変数関数 $f(x,y)$ があって
左辺 $=df(x,y)$
となること。
$df$ は正確に言うと「微分１形式」という代物ですが、記号として
$\dps{df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy}$
と書くもの、と思っていれば計算できます。
Th.3 Def.3 のとき、 $(5.1)$ の一般解は
$f(x,y)=C$
証明 $\dps{\frac{df}{dx} = \left( P + Q\, \frac{dy}{dx}\right) = 0}$ ゆえ $\dps{f=\int 0\,dx = C}$.
(証明終)
Th.4 $(5.1)$ が完全微分形であることは
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
\tag{5.2}
$$
と同値。
証明 $\Rightarrow$ ) $df = P\,dx + Q\,dy$ であれば
$\dps{P=\frac{\partial f}{\partial x}}$, $\dps{Q=\frac{\partial f}{\partial y}}$ ゆえ
$\dps{\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}}.$
$\Leftarrow$ ) まず、
$\dps{g(x,y)=\int P(x,y) dx}$
とおきます。ただし右辺は $y$ を定数と思って $x$ で積分したものです。このとき
$\dps{\frac{\partial g}{\partial x}=P}$
ですから $(5.2)$ を用いると、
$\dps{\frac{\partial}{\partial x} \left(Q-\frac{\partial g}{\partial y} \right)
= \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}
= \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
= 0}$
従って $\dps{Q-\frac{\partial g}{\partial y}}$ は $x$ に依らない $y$ だけの関数です。そこで
$\dps{h(y) = Q-\frac{\partial g}{\partial y}}$,
$\dps{f(x,y)=g(x,y)+\int h(y)dy}$
とおくと
$\dps{df=dg+h(y)dy=\frac{\partial g}{\partial x}dx+\frac{\partial g}{\partial y}dy+\left(Q-\frac{\partial g}{\partial y}\right)dy=Pdx+Qdy }$.
(証明終)
この証明から
Cor.5 $(5.1)$ が完全微分形であるとき、その一般解は
$\dps{f(x,y)=\int P\,dx+\int\left(Q-\frac{\partial}{\partial y}\int P\,dx\right)dy=C}$.