応用数学 第2回 (1) 同次形微分方程式
同次形微分方程式
Def.1 1変数 $v$ の関数 $f(v)$ を用いて
$$
\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)
\tag{3.1}
$$
と書ける微分方程式を「同次形微分方程式」と呼ぶ。
Ex.2 $\dps{\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{2xy}}$ は、分母分子を $x^2$ で割ると
$\dps{\frac{dy}{dx}=\frac{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}{2\left(\frac{y}{x}\right)}}$
となり $\dps{f(v)=\frac{1+v^2}{2v}}$ の場合である。
- $\dps{\frac{dy}{dx}}$ が $x$ と $y$ の分数式で、分母分子が同じ次数の斉次式なら Ex.2 のように同次形になります。
- 教科書では Ex.2 を
$(x^2+y^2)\,dx - 2xy\,dy=0$
と書いています。このような書き方にも慣れましょう。
Th.3 $\dps{\frac{y}{x}=v}$ とおくと $(3.1)$ は $x$ と $v$ の変数分離形微分方程式
$\dps{\frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}\left(f(v)-v\right)}$
になる。
証明 $y=xv$ より
$\dps{f(v)=\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}}$
ゆえ。(証明終)
Ex.2 の続き
$\dps{f(v)-v=\frac{1+v^2-2v^2}{2v}=\frac{1-v^2}{2v}}$
∴ $\dps{\int\frac{2v}{1-v^2}dv=\int\frac{1}{x}dx=\log x + C}$
左辺は
$\dps{\int\frac{2v}{1-v^2}dv=-\log(1-v^2)}$
ゆえ
$\log x + \log(1-v^2) = -C$
$\dps{x \left(1-\left(\frac{y}{x}\right)^2\right) = A}$ ( $A=e^{-C}$ )
$x^2-y^2 = Ax$.
本当は絶対値を付けて
$\log |\,x\,| + \log|\,1-v^2\,| = -C$
$\dps{x\left(1-\left(\frac{y}{x}\right)^2\right) = \pm e^{-C}}$
と書くべきでしょうが、$A=\pm e^{-C}$ とおけば $\pm$ も表現できるのでルーズに書く習慣のようです。