応用数学 第1回 (5) 変数分離形に帰着できる例
変数の置き換えによって変数分離形に持ち込んで解ける微分方程式の例をひとつ紹介します。
Technique 7 $\dps{\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)}$ の形の微分方程式は、
$u=ax+by+c$ とおくと
$\dps{\frac{du}{dx} = a + b \frac{dy}{dx} = a + b f(u)}$
となって $x$ と $u$ の変数分離形になる。
Ex.8 $\dps{\frac{dy}{dx}=(4x+y-3)^2}$
解 $u=4x+y-3$ とおくと
$\dps{\frac{du}{dx} = 4 + \frac{dy}{dx} = 4 + u^2}$
$\dps{\int\frac{du}{u^2+4} = \int\,dx}$
$\dps{\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right) = x + C}$
$A=2C$ とおいて
$\dps{\frac{u}{2}=\tan(2x+A)}$
$4x+y-3=2\tan(2x+A)$
よって一般解は
$y=2\tan(2x+A)-4x+3.$