応用数学（塩田）2020年度

応用数学第1回 (4)　変数分離形微分方程式

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変数分離形微分方程式

Def.1　

$x$ の関数

$y=y(x)$ について

$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \tag{2.1}$ の形の微分方程式を「変数分離形」と呼ぶ。ただし、

$f(x)$ は

$x$ のみの関数、

$g(y)$ は

$y$ のみの関数とする。

Th.2　

$(2.1)$ の一般解は

$\dps{\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx + C}$

証明　

$\dps{\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)}$ の両辺を

$x$ で積分すれば、置換積分の公式より。(証明終)

Rem.3　

$y$ の方程式

$g(y)=0$ に解

$y=K$ があれば、定数関数

$y(x)=K$ も

$(2.1)$ の解になる。

証明　

$y(x)=K$ ならば

$y'(x)=0$ かつ

$f(x)g(y(x))=f(x)g(K)=0$ ゆえ。(証明終)

Ex.4　

$\dps{(x-1)\frac{dy}{dx}=2y}$

$\cdots$

$(\ast)$ を解け。

解　これは

$\dps{\frac{dy}{dx}=\left(\frac{2}{x-1}\right)\left(y\right)}$ と書けば

$(2.1)$ の形で

$\dps{\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{2}{x-1}dx + C}$

$\log|\,y\,|=2\log|\,x-1\,| + C$

$\cdots$

$(\sharp)$

$y=(x-1)^2 \times ( \pm e^C)$

$A=\pm e^C$ とおいて一般解は

$y=A(x-1)^2$ となります。

Rem.5　上の変形では

$A\neq 0$ のような気がしますが、 Rem.3 より定数関数

$y(x)=0$ も

$(\ast)$ の解ですので

$A=0$ でもいいことになります。という訳で、あまり気にせず

$y=A(x-1)^2$ を一般解だと考えましょう。

Rem.6　また、

$(\sharp)$ の次を

$2\log|\,x-1\,|=\log|\,y\,| - C$

$\cdots$

$(\sharp)$

$(x-1)^2= y\times ( \pm e^{-C})$ と変形すれば一般解は

$(x-1)^2=By$ であるとも言えます。ここで

$B=0$ とおくと

$x=1$ という式が得られますが、直線

$x=1$ 上では

$\dps{\frac{dx}{dy}=0}$

$\Rightarrow$

$(x-1)=0=\dps{(2y)\times\frac{dx}{dy}}$ となります。直線

$x=1$ は

$y=(x$ の式) の形ではありませんが、

$(\ast)$ を満たす

$x$ と

$y$ の関係式であることには違いないので、これも

$(\ast)$ の解と考えることにしましょう。

等傾斜法

　Rem.6 を更に深読みします。

$(\ast)$ を

$\dps{\frac{dy}{dx}=\frac{2y}{x-1}}$ と書けば、この方程式の解は点

$(x,y)$ で傾き

$\dps{\frac{2y}{x-1}}$ をもつような曲線と考えることができます。実際に点

$(x,y)$ に傾き

$\dps{\frac{2y}{x-1}}$ を赤い線でプロットしてみると

となります。この赤い線をスムーズにつないでできる曲線が

$(\ast)$ の解ということになり、式で書けば、

$y = A(x-1)^2$ の形の放物線と、直線

$x=1$ になります。

このようにして微分方程式の解を求める方法を「等傾斜法」と言います。

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