数値解析（塩田）2022年度

数値解析第14回 (4)　累乗法に関する注意

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複素数が必要な場合

　複素行列、あるいは実行列でも固有値が複素数の場合の注意です。

Rem.11　累乗法・デフレーションで 複素数が必要な場合 は次の2点を修正します：

標準内積の定義には複素共役が必要で $\dps{(\xxx,\yyy)=\sum_{i=1}^n\,\overline{x_i}\,y_i}$ となります。
Alg.6 のループの終了条件は ( $\vvv$ ≒ 旧 $\,\vvv$ ) or ( $\vvv$ ≒ $-$ 旧 $\,\vvv$ ) では駄目で、 $\vvv$ ≒ ( 旧 $\,\vvv$ の或るスカラー倍 ) あるいは成分比 $\dps{\left(\frac{v_i}{\small{\mbox{旧}}\,v_i}\right)}$ がほぼ一定とします。これは、複素ベクトルは「複素数倍しても同じ方向だと考える」からです。

絶対値の等しい固有値がある場合の工夫

　例えば回転の行列など、実行列が複素数の固有値

$\lambda$ を持つときは、その複素共役

$\overline{\lambda}$ も固有値になり、

$\big|\,\overline{\lambda}\,\big| = \big|\,\lambda\,\big|$ ゆえ、Th.9 の条件

$(\sharp)$ が満たされません。しかし、次の工夫により「累乗法＆デフレーション」作戦が使えるようになります。

工夫　

複素乱数 $\alpha$ を取る。
$B=A+\alpha E$ とおく。
$B$ に「累乗法＆デフレーション」を適用して、 $B$ の固有値・固有ベクトル $(\mu_j,\www_j)$ ( $j=1,2,\cdots,n$ ) を求める。
$\lambda_j=\mu_j-\alpha$ とおく。
$\vvv_j=\www_j$ とおく。

　実際、

$\begin{align} A\vvv_j=(B-\alpha E)\www_j &=B\www_j-\alpha\www_j \\ &=\mu_j\www_j-\alpha\www_j =(\mu_j-\alpha)\www_j=\lambda_j\vvv_j \\ \end{align}$ ゆえ

$(\lambda_j,\vvv_j)$ は

$A$ の固有値・固有ベクトルになります。そして

$\alpha$ が乱数なので、高い確率で

$\mu_j=\lambda_j+\alpha$ たちの絶対値は全て異なります。

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