数値解析 第7回 (5) ガウスの積分公式が優れている理由
ガウスの積分公式が優れている理由
Case 1 : $\dps{\int_{-1}^1 f\,dx}$ で説明します。
- ラグランジュ補間多項式 $p(x)$ とは
$p(t_k)=f(t_k)$ ( $t=1,2,\cdots, m$ )
を満たす多項式でした。
- 従って、方程式
$f(x)-p(x)=0$
は $t_k$ ( $t=1,2,\cdots, m$ ) を全て解に持ちます。
- 因数定理により、$f(x)-p(x)$ のテイラー展開は
$(x-t_1)(x-t_2)\cdots (x-t_m)$ $\cdots\cdots$ $(\ast)$
で割り切れます。
- $t_k$ ( $t=1,2,\cdots, m$ ) は $P_m(x)$ の根なので、$(\ast)$ は $P_m(x)$ の定数倍です。
- 3-4° により
$f(x)-p(x)=P_m(x)(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)$ $\cdots\cdots$ $(\sharp)$
と書くことができます。
- よって近似誤差は、記号 $\newcommand{\ip}[2]{\left\langle\,#1, #2\,\right\rangle}\ip{\ }{\ }$ を用いて書けば
\begin{align}
\int_{-1}^{1}(f(x)-p(x))dx
&=\int_{-1}^{1}P_m(x)(b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots)dx \\
&=\ip{P_m}{\sum_{k=0}^{\infty}b_k x^k} \\
&=\sum_{k=0}^{\infty}b_k \ip{P_m}{x^k} \\
\end{align}
- すると Cor.6 より $k \lt m$ については $\ip{P_m}{x^k}=0$ なので、
近似誤差 $ \require{color}\dps{= \sum_{\textcolor{red}{k=m}}^{\infty}b_k \ip{P_m}{x^k}}$
となり、式 $(\sharp)$ の $x^m$ 以上の 高次の項しか誤差に関与しない ことがわかります。
展開式の 高次の項は値として非常に小さい ので、誤差も非常に小さくなる、という理屈です。