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デフレーション

　Alg.6 では最大固有値とそれに対する固有ベクトルしか求められませんが、 「デフレーション」という処理により、 2番目、3番目 $\cdots$ に絶対値の大きい固有値についても固有値・固有ベクトルを求めることができるようになります。 　証明は後述します。 　ただし ${}^t\vvv$ や ${}^tA$ は転置を表す記号です。たとえば $\dps{{}^t\mat{c}{1 \\ 2} = (1\ \ 2)}$,  $\dps{{}^t\mat{cc}{1 & 2 \\ 3 & 4} = \mat{cc}{1 & 3 \\ 2 & 4}}$ であり、「積の転置は、転置を逆に掛けたもの」という性質があります： ${}^t(AB)=({}^tB)({}^tA)$,  ${}^t(A\vvv)=({}^t\vvv)({}^tA)$  etc. ( 「$t$ 乗」と間違わないように左肩に書く人が多いです。)

　また Alg.8 では次のことに注意してください。

1. ${}^tA$ と $A$ は同じ固有値を持ちます。
   ( $\det(xE-A)=\det{}^t(xE-A)=\det(xE-{}^tA)$ ゆえ。)
2. ${}^t\www\,\vvv_1$ はスカラーです。
3. $\vvv_1{}^t\uuu$ は $n$ 次行列です。

　$(\sharp)$ を満たすとき、$A$ にデフレーションを施した行列 $B$ では $\lambda_2$ が最大固有値になり、 $B$ に累乗法を適用することで $(\lambda_2,\vvv_2)$ が求まります。 さらに $B$ にデフレーションを施した行列では $\lambda_3$ が最大固有値になり、... といった仕組みです。

Lemma 7 の証明

${}^tA\uuu=\lambda_1\uuu$ の転置を取ると ${}^t\uuu A=\lambda_1{}^t\uuu$ となりますので $j \geqq 2$ に対しては $(\lambda_1{}^t\uuu)\, \vvv_j=({}^t\uuu A)\vvv_j={}^t\uuu (A\vvv_j) ={}^t\uuu (\lambda_j\,\vvv_j)=\lambda_j{}^t\uuu\,\vvv_j$ が成り立ち、 $(\lambda_1-\lambda_j){}^t\uuu\,\vvv_j=0$ となります。条件 $(\ast)$ から $\lambda_1\neq\lambda_j$ なので ${}^t\uuu\,\vvv_j=0$ が言えます。従って $j \geqq 2$ に対しては $B\vvv_j =(A-\lambda_1\vvv_1{}^t\uuu)\vvv_j=A\vvv_j-\lambda_1\vvv_1({}^t\uuu\,\vvv_j)=\lambda_j\vvv_j-\lambda_1\vvv_1\,0=\lambda_j\vvv_j$. また $\displaystyle{{}^t\uuu\vvv_1=\frac{1}{{}^t\www\,\vvv_1} {}^t\www\,\vvv_1=1}$ ゆえ $B\vvv_1 =(A-\lambda_1\vvv_1{}^t\uuu)\vvv_1=A\vvv_j-\lambda_1\vvv_1({}^t\uuu\,\vvv_1)=\lambda_1\vvv_1-\lambda_1\vvv_1=\ooo$.

実行例

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