数値解析 第11回 (4)　LU 分解法 Step 2-3 の手順
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Step 3 の手順

　$U$ は上三角行列ですので、Step 3 は、 ガウスの消去法の Step 2 を $U$ と $\yyy$ で書き直したものになります。 ただし $u_{ii}=1$ ですので 前回の Step2 と違って $\dps{\frac{1}{u_{ii}}}$ は不要です。
Algorithm ( Step 3 )

   for $i = n$ downto $1$
     $\dps{x_i = y_i - \sum_{j=i+1}^n u_{ij}\,x_j}$


Step 2 の手順

　逆に $L$ は下三角行列ですので、$L\yyy=\bbb$ という式を上の成分から順に見てゆきます。 赤字の数が未知数で、ひとつずつ求まってゆくことがわかります。 $\require{color}$ \begin{align} {\small\mbox{第 1 成分}} &: \ell_{11}\,\textcolor{red}{y_1} = b_1 &\rightarrow&\quad \textcolor{red}{y_1} {\small\mbox{ が求まる}} \\ {\small\mbox{第 2 成分}} &: \ell_{21}\,y_1 + \ell_{22}\,\textcolor{red}{y_2} = b_2 &\rightarrow&\quad \textcolor{red}{y_2} {\small\mbox{ が求まる}} \\ {\small\mbox{第 3 成分}} &: \ell_{31}\,y_1 + \ell_{32}\,y_2 + \ell_{33}\,\textcolor{red}{y_3} = b_3 &\rightarrow&\quad \textcolor{red}{y_3} {\small\mbox{ が求まる}} \\ \vdots \\ {\small\mbox{第 }} i {\small\mbox{ 成分}} &: \ell_{i1}\,y_1 + \cdots + \ell_{i,i-1}\,y_{i-1} + \ell_{ii}\,\textcolor{red}{y_i} = b_i &\rightarrow&\quad \textcolor{red}{y_i} {\small\mbox{ が求まる}} \\ \end{align} 具体的には
Algorithm ( Step 2 )

   for $i = 1$ to $n$
     $\dps{y_i = \left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \ell_{ij}\,y_j\right) / \,\ell_{ii}}$

となります。

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