数値解析 第9回 (4) 偏微分方程式

物理現象を表す偏微分方程式の例

をいくつか見ておきましょう。
ポアソン方程式  $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=f(x, y, z)}$
  • $u$ は ( 例えば ) 位置 $(x, y, z)$ の静電ポテンシャルを表す関数で、
  • $f(x,y,z)$ は電荷の分布を表す関数です。
熱伝導方程式  $\dps{\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$
  • $u$ は、時刻 $t$, 位置 $(x,y)$ における温度を表す関数です。
  • 拡散方程式とも呼ばれます。
波動方程式  $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$
  • $u$ は、時刻 $t$, 位置 $(x,y)$ における波の変位を表す関数です。
ラプラス方程式  $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,\quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0}$
  • 電荷が存在しない場合の静電ポテンシャルや、熱分布の定常状態などを表します。
  • ポアソン方程式、熱伝導方程式などの部分問題でもあります。

偏微分方程式の数値解法

 2 変数関数 $u=u(x,y)$ についてのラプラス方程式
$\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0}$  $\cdots\cdots$ $(1)$
で説明します。
  1. $x$, $y$ の刻み幅  $h = \mathit{\Delta}x = \mathit{\Delta}y$  を設定する。
  2. $xy$-平面に幅 $h$ で格子を描く:
  3. 格子点での $u$ の値を  $u_{ij}=u(x_i,y_j)$  とおく。
  4. $u_{ij}$ は図の ● では境界条件として与えられていて、○ では未知数である。
  5. $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}$ は $y$ を定数と思って $x$ で 2 回微分することなので、 中心差分を用いると
    $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,y_j) \mbox{ ≒ } \frac{1}{h^2}\left(u(x_i+h,y_j)-2u(x_i,y_j)+u(x_i-h,y_j)\right)}$
    4° の記号で 3° の記号で ( 12月8日 13:00 訂正 )
    $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,y_j) \mbox{ ≒ } \frac{1}{h^2}\left(u_{i+1,j}-2u_{ij}+u_{i-1,j}\right)}$  $\cdots\cdots$ $(2)$
    同様に
    $\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(x_i,y_j) \mbox{ ≒ } \frac{1}{h^2}\left(u_{i,j+1}-2u_{ij}+u_{i,j-1}\right)}$  $\cdots\cdots$ $(3)$
  6. $(2)$, $(3)$ を $(1)$ に入れて、≒ を思い切って $=$ と書くと
    $u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i-1,j}-4u_{ij}=0$
    これを全ての ○ の番号 $(i,j)$ について書き出すと、未知数 $u_{ij}$ たちの連立一次方程式が得られ、 それを行列計算によって解く。
 たとえば $10\times 10$ の格子を描くと ○ は 81 個あるので、 未知数が 81 個の連立一次方程式を解くことになります。

 ということで、次回から線形代数編に入ります。