数値解析 第8回 (3) ホイン法
ホイン法のアイデア
オイラー法では
(9.9) の積分を、
区間
[xn,xn+1] の左端の
x 座標を用いて
f(x,y(x)) ≒ f(xn,y(xn))
と考えて、
長方形の面積で近似していました：
∫xn+1xnf(x,y(x))dx ≒ h×f(xn,yn)
n=0 の場合 
ホイン法ではまず、
(9.9) の積分にある意味「台形公式」を用いて
∫xn+1xnf(x,y(x))dx ≒ h2{f(xn,y(xn))+f(xn+1,y(xn+1)}
と考えます。ここでも、
y(xn),
y(xn+1) の真の値は未知ですから、
- y(xn) には n 番目の近似値 yn を代入し、
- y(xn+1) には、n 番目の近似値 yn をオイラー法の近似式に入れて得られる
ˆy=yn+h×f(xn,yn)
を代入します。( この yn はホイン法の近似値です。)
n=0 の場合 
(
ˆy は
y(x1) の近似値なので、ふつう
f(x1,ˆy) と
f(x1,y(x1)) は違っています。)
ホイン法の公式
公式 (9.12)
ˆy=yn+h×f(xn,yn) として
yn+1=yn+h2×{f(xn,yn)+f(xn+1,ˆy)}
(n=0,1,⋯)
※ ホイン法は、オイラー法を改良した「修正オイラー法」のひとつで、この他にもホイン法と呼ばれる公式がいくつもあります。
実行例
教科書 p.193 図 9.3 では刻み幅 1/1024 で誤差は 0.00052% ほどになり、オイラー法より格段に精度が上がっています。