数値解析（塩田）2021年度

数値解析第8回 (1)　状況設定

状況設定

とするとき、次の形の微分方程式の数値解を求めます :

$y'(x) = f(x, y(x)),\qquad y(x_0) = y_0 \tag{9.7}$ (

$f$ の式と、

$x_0$ と

$y_0$ の値が与えられます。)

$x$ と

$y$ で書くと )

$y''=-g-Ky'$ でした。1 回積分すると

$y'=-gx-Ky+c$ となり、

$(9.7)$ で

$f(x,y)=-gx-Ky+c$ の場合になります。

基本方針

　例によっていろいろな手法がありますが、今日紹介する方法に共通する方針は次のとおりです：

$x$ の刻み幅 $h$ を設定する。
初期条件を決める $x_0$ から $h$ 刻みで $x_n = x_0 + n \times h$ ( $n=1,2,\cdots$ ) とおく。
$x_n$ での真の値 $y(x_n)$ の近似値を $\require{color}\textcolor{red}{y_n}$ ( $n=1,2,\cdots$ ) と書くことにする。
順番に、
- $y_0$ の値から $y_1$ を推定し、
- $y_1$ の値から $y_2$ を推定し、
  $\vdots$
- $y_n$ の値から $y_{n+1}$ を推定してゆく

近似式の作り方（積分進行法）

$(9.7)$ より

$\dps{\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx = \int_{x_n}^{x_{n+1}}y'(x)dx = y(x_{n+1}) - y(x_n)}$ ゆえ、真の値

$y(x_n)$ たちは

$\require{color} y(x_{n+1}) = y(x_n) + \int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,\textcolor{red}{y(x)})dx \tag{9.9}$ を満たします。とは言っても

$\textcolor{red}{y(x)}$ が未知なので、何らかの理屈をつけて右辺の積分を近似します。