数値解析（塩田）2021年度

数値解析第7回 (3)　ルジャンドル多項式の根

ルジャンドル多項式 $P_n$ の根

　ガウスの積分公式では、ルジャンドル多項式の根を用いて観測点を決めます。その根についての定理です：

Th.9　

$P_n$ は区間

$[\,-1,1\,]$ に

$n$ 個の異なる実数根を持つ。更に

とすると、これらは交互に並んでいる：

$\beta_1 \lt \alpha_1 \lt \beta_2 \lt \alpha_2 \lt \cdots \lt \alpha_n \lt \beta_{n+1}$

　絵的に面白いので証明も見ておきましょう。

証明　

$n=1$ のときは

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} P_1=x \\ P_2=\frac{1}{2}(3x^2-1) \\ \end{array} \right. }$ ゆえ

$\dps{ \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1=0 \\ \beta_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\quad \beta_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \end{array} \right. }$ より

$\beta_1 \lt \alpha_1 \lt \beta_2$ が成り立ちます。
　

$n$ のとき正しいと仮定すると、

$y=P_n(x)$ のグラフと

$\beta_j$ たちの関係は図のようになります：

従って

$P_n(\beta_1)$ ,

$P_n(\beta_2)$ ,

$P_n(\beta_3)$ ,

$\cdots$ の符号は毎回逆転します。Th.3 の漸化式と

$P_{n+1}(\beta_j)=0$ から

$\dps{P_{n+2}(\beta_j)=\frac{1}{n+2}\Big\{(2n+3)xP_{n+1}(\beta_j)-(n+1)P_{n}(\beta_j)\Big\}=-\frac{n+1}{n+2}P_{n}(\beta_j)}$ が言えますので

$P_{n+2}(\beta_1)$ ,

$P_{n+2}(\beta_2)$ ,

$P_{n+2}(\beta_3)$ ,

$\cdots$ の符号も毎回逆転し、

$y=P_{n+2}(x)$ のグラフは図のようになります。

従って区間

$[\,\beta_j,\beta_{j+1}\,]$ (

$j=1,2,\cdots,n$ ) にそれぞれ 1 つ以上

$P_{n+2}$ の根があります。さらに Th.4 から

$[\,-1,\beta_{1}\,]$

$[\,\beta_{n+1},1\,]$ にも

$P_{n+2}$ の根があることがわかります。 (証明終)