数値解析（塩田）2021年度

数値解析第7回 (1)　前回の復習

数値積分の基本方針

　前回から定積分

$\dps{\int_a^b f(x)dx}$ の近似公式を作っていました。その基本方針は次のとおりでした：

積分区間 $[\,a,b\,]$ をまず $N$ 等分する。
その $N$ 等分した小区間 $[\,\alpha,\beta\,]$ ごとに $m+1$ 個の観測点 $\alpha \leqq x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_m \leqq \beta$ を取り、 $p(x)=\big($ $\{\,x_k\,\}_{k=0,1,\cdots, m}$ に関する $f(x)$ のラグランジュ補間多項式 $\big)$ として $\dps{\int_{\alpha}^{\beta}p(x)dx}$ を $\dps{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx}$ の近似値とする。

$p(x)$ は具体的に求める必要はなくて、

$\dps{\int_{\alpha}^{\beta}p(x)dx = \sum_{k=0}^m}($ 重み

$w_k\,) \times($ 観測値

$y_k\,)$ ( ただし

$y_k=f(x_k)$ ) の形になります。

関数の内積

　関数は、足せて、実数倍ができることからベクトルと考えることができ、更に

$\newcommand{\ip}[2]{\langle\,#1, #2\,\rangle}$

$\newcommand{\vecv}{\boldsymbol{v}}$

$\newcommand{\vecw}{\boldsymbol{w}}$

$\dps{\ip{f}{g}=\int_{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,dx}$ によって

$[\,-1,1\,]$ 上の関数たちに内積を定めることができます。