数値解析（塩田）2021年度

数値解析第5回 (5)　例と注意

例

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.1$ の場合の

$y'$

$x$	真の値 $\cos(x)$	前進差分	後退差分	中心差分	前進差分の誤差	後退差分の誤差	中心差分の誤差
$0.300000$	$0.955336$	$0.938981$	$0.968509$	$0.953745$	$0.016355$	$0.013172$	$0.001591$
$0.400000$	$0.921061$	$0.900072$	$0.938981$	$0.919527$	$0.020989$	$0.017920$	$0.001534$
$0.500000$	$0.877583$	$0.852169$	$0.900072$	$0.876121$	$0.025413$	$0.022489$	$0.001462$
$0.600000$	$0.825336$	$0.795752$	$0.852169$	$0.823961$	$0.029583$	$0.026834$	$0.001375$
$0.700000$	$0.764842$	$0.731384$	$0.795752$	$0.763568$	$0.033458$	$0.030910$	$0.001274$

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.01$ の場合の

$y'$

$x$	真の値 $\cos(x)$	前進差分	後退差分	中心差分	前進差分の誤差	後退差分の誤差	中心差分の誤差
$0.300000$	$0.955336$	$0.953843$	$0.956798$	$0.955321$	$0.001494$	$0.001462$	$0.000016$
$0.400000$	$0.921061$	$0.919099$	$0.922993$	$0.921046$	$0.001962$	$0.001932$	$0.000015$
$0.500000$	$0.877583$	$0.875171$	$0.879965$	$0.877568$	$0.002412$	$0.002382$	$0.000015$
$0.600000$	$0.825336$	$0.822499$	$0.828145$	$0.825322$	$0.002837$	$0.002809$	$0.000014$
$0.700000$	$0.764842$	$0.761608$	$0.768051$	$0.764829$	$0.003234$	$0.003208$	$0.000013$

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.1$ の場合の

$y''$ ,

$y'''$ ,

$y^{(4)}$

$x$	2 階の中心差分	2 階の中心差分の誤差	3 階の中心差分	3 階の中心差分の誤差	4 階の中心差分	4 階の中心差分の誤差
$0.300000$	$-0.295274$	$0.000246$	$-0.952951$	$0.002386$	$0.295028$	$0.000492$
$0.400000$	$-0.389094$	$0.000324$	$-0.918761$	$0.002300$	$0.388770$	$0.000649$
$0.500000$	$-0.479026$	$0.000399$	$-0.875391$	$0.002192$	$0.478627$	$0.000798$
$0.600000$	$-0.564172$	$0.000470$	$-0.823274$	$0.002061$	$0.563702$	$0.000940$
$0.700000$	$-0.643681$	$0.000537$	$-0.762932$	$0.001910$	$0.643145$	$0.001073$

$y(x)=\sin(x)$ ,

$h=0.01$ の場合の

$y''$ ,

$y'''$ ,

$y^{(4)}$

$x$	2 階の中心差分	2 階の中心差分の誤差	3 階の中心差分	3 階の中心差分の誤差	4 階の中心差分	4 階の中心差分の誤差
$0.300000$	$-0.295518$	$0.000002$	$-0.955313$	$0.000024$	$0.295515$	$0.000005$
$0.400000$	$-0.389415$	$0.000003$	$-0.921038$	$0.000023$	$0.389412$	$0.000007$
$0.500000$	$-0.479422$	$0.000004$	$-0.877561$	$0.000022$	$0.479418$	$0.000008$
$0.600000$	$-0.564638$	$0.000005$	$-0.825315$	$0.000021$	$0.564633$	$0.000009$
$0.700000$	$-0.644212$	$0.000005$	$-0.764823$	$0.000019$	$0.644207$	$0.000011$

注意

Rem.11　きざみ幅

$h$ が小さいと

$y(x+h)$ ≒

$y(x)$ ですから、差分を計算するときに桁落ちの危険があります。

$h$ は小さく設定し過ぎてはいけません。

Rem.12　偏微分は「他の変数を定数と思って微分する」ので、たとえば

$u=u(x,y)$ が 2 変数の関数であれば、2 階の中心差分から

$\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}$ ≒

$\dps{\frac{1}{h^2}\{u(x+h,y) - 2\,u(x,y) + u(x-h,y)\}}$

$\dps{\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$ ≒

$\dps{\frac{1}{h^2}\{u(x,y+h) - 2\,u(x,y) + u(x,y-h)\}}$ となります。すると物理学でよく使われるラプラシアンは

$\begin{align} \Delta u &=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\ &\mbox{ ≒ } \frac{1}{h^2}\{u(x+h,y) + u(x-h,y) + u(x,y+h) + u(x,y-h) - 4\,u(x,y)\} \end{align}$ と近似できます。
　右辺のカッコ内は

$(x,y)$ を中心として

$\pm h$ の点の関数値を足し合わせた形で、その係数は

	$1$
$1$	$-4$	$1$
	$1$

となっています。これは画像処理ではラプラシアンフィルタと呼ばれ、エッジ抽出などに用いられます。

Rem.13　教科書 p.170 には「補正公式」が載っていますが、

$(8,9a)$ , $(8.9b)$ には $h$ ( 教科書では $\mathit{\Delta}x$ ) のべき乗が抜けています。
$(8.10b)$ の $\dps{-\frac{1}{90}}$ は $+\dps{\frac{1}{90}}$ です。
中心差分・前進差分の公式、補正公式

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