数値解析 第9回 (1) ベクトル値関数の微積分
ベクトル値関数
物理学では当たり前に使っていますが、ベクトル値関数の微積分を復習しておきましょう。
Def.1 $x$ の関数
$v_1$, $v_2$, $\cdots$, $v_N$
を縦に並べたもの
$\dps{
\vvv=\left(
\begin{array}{c}
v_1 \\ \vdots \\ v_N \\
\end{array}
\right)
}$
を $N$ 次元ベクトル値関数と呼ぶ。その微積分は成分ごとに行う：
$\dps{
\vvv'=\left(
\begin{array}{c}
v_1' \\ \vdots \\ v_N' \\
\end{array}
\right)
}$
,
$\qquad
\dps{
\int \vvv\,dx=\left(
\begin{array}{c}
\dps{\int v_1\,dx} \\ \vdots \\ \dps{\int v_N\,dx} \\
\end{array}
\right)
}$
例えばこんな使い方ができます。
Ex.2 $\dps{\int e^{ax}\cos(bx)dx}$ を部分積分を使わずに求める方法
$\dps{
\vvv
=\left(
\begin{array}{c}
e^{ax}\cos(bx) \\ e^{ax}\sin(bx) \\
\end{array}
\right)
}$
とおくと
$\dps{
\vvv'=\left(
\begin{array}{c}
ae^{ax}\cos(bx)-be^{ax}\sin(bx) \\ ae^{ax}\sin(bx)+be^{ax}\cos(bx) \\
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{rr}
a & -b \\ b & a \\
\end{array}
\right)
\vvv
}$
∴
$\dps{
\vvv
=
\left(
\begin{array}{rr}
a & -b \\ b & a \\
\end{array}
\right)^{-1}v'
=
\frac{1}{a^2+b^2}
\left(
\begin{array}{rr}
a & b \\ -b & a \\
\end{array}
\right)\vvv'
}$
∴
$\dps{
\int \vvv\,dx
=
\frac{1}{a^2+b^2}
\left(
\begin{array}{rr}
a & b \\ -b & a \\
\end{array}
\right)\vvv
+\left(
\begin{array}{c}
C \\ D \\
\end{array}
\right)
}$
この第1成分を見れば
$\dps{\int e^{ax}\cos(bx)dx=\frac{1}{a^2+b^2}e^{ax}\big(a\cos(bx)+b\sin(bx)\big)+C}$