高知大学大学院理学研究科情報科学専攻（専門） 13 _{専門}_{受験番号}

13 次の A , B のうち、いずれか一つを選んで解答せよ。

A 53 元体 F_{53} の乗法群 F_{53}^{×} における ¯7 の位数を求めよ。

B (1) A = (a_{ij}) を実数成分の n 次正方行列、 λ を A の固有値、 x = (x_{i}) を λ に対する A の固有ベクトルとする。 x の成分の中で絶対値最大のものを x_{k} とするとき、その番号 k について次の不等式が成り立つことを示せ。

| λ | ≦ ∑_{j=1}^{n} | a_{kj} |

(2) G を頂点数 n の単純無向グラフ、 A をその隣接行列とする。このとき、次の (a), (b) は同地であることを示せ。

(a) G は完全グラフである。

(b) A は n − 1 を固有値に持つ。