応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) 1999 年 6 月 21 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【例題 1】 R^{3} のベクトルの組( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) は一次独立であることを示せ。

【定義に沿った解答】

c_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + c_{2} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}c_{1} + c_{2} \\ c_{1} + 2c_{2} \\ c_{1} + 3c_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

とする。第 1 ・第 2 成分を見れば c_{1} + c_{2} = 0, c_{1} + 2c_{2} = 0 . これを解くと c_{1} = c_{2} = 0 となるので。

【例題 2】 R^{2} のベクトルの組 a_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) , a_{2} = ( \begin{matrix}3 \\ −6 \end{matrix} ) は一次従属であることを示せ。

【定義に沿った解答】 c_{1} = 2, c_{2} = −1 として c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} = 0 が成り立つので。

【定理 C を用いた解答】

| \begin{matrix}1 & 3 \\ −2 & −6 \end{matrix} | = 0 ゆえ。

【問題 1】次のベクトルの組が一次独立であるか一次従属であるか、それぞれ理由を付けて述べよ。

(1) ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ R^{3}

(2) a_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ), a_{2} =( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix} ), a_{3} =( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) ∈ R^{3}

(3) a_{1} =( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), a_{2} =( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ), a_{3} =( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ) ∈ R^{4}

【問題 2】 x, y, z ∈ R^{n} とするとき、ベクトルの組

a_{1} = x − y, a_{2} = y − z, a_{3} = z − x

は一次独立か一次従属か ?