応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) 1999 年 5 月 17 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【問題 1】 3 次行列 A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix} ) に掃き出し法を適用して正則かどうか判定し、正則な場合はその逆行列も求めよ。

【例題】連立一次方程式\begin{cases}x_{1} & + & x_{2} & − & x_{3} & = & 5 \\ x_{1} & − & x_{2} & + & 3x_{3} & = & −1 \\ 2x_{1} & + & x_{2} & & & = & 7 \end{cases} を掃き出し法を用いて解け。

【略解】拡大係数行列の行変形を行うと

( \begin{matrix}1 & 1 & −1 & 5 \\ 1 & −1 & 3 & −1 \\ 2 & 1 & 0 & 7 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & −2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

なので解があり、解の自由度は未知数の個数 − 階数 = 3 − 2 = 1。残った 2 つの式 x_{1} + x_{3} = 2, x_{2} − 2x_{3} = 3 から一般解は

x_{1} = −t + 2, x_{2} = 2t + 3, x_{3} = t ( t はパラメータ )

となる。この解はベクトルを用いて次のように書くこともできる。

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = t ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} ) ( t はパラメータ ) .

【問題 2】\underline{掃き出し法を用いて}次の連立一次方程式に解が存在するか否かを判定し、解を持つときはその一般形を求めよ。

(1) \begin{cases}x & + & y & & & = & 2 \\ x & − & y & + & z & = & 1 \\ x & + & 2y & − & z & = & 0 \end{cases}

(2) \begin{cases}3x & − & 5y & + & 2z & = & −3 \\ x & + & y & + & z & = & 2 \\ 4x & − & 4y & + & 3z & = & 5 \end{cases}

(3) \begin{cases}x & + & y & + & z & + & w & = & 5 \\ x & + & 2y & + & 3z & + & 4w & = & 11 \\ x & − & 2y & + & z & − & 2w & = & 5 \end{cases}