応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) 1999 年 4 月 26 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【問題 1】 X, A をふたつの n 次行列とし、 A の列ベクトル表示を A = (a_{1} ⋯ a_{n}) とする。

このとき、

XA = (Xa_{1} ⋯ Xa_{n})

であることをもちいて、次の命題を示せ。「 A のひとつの列ベクトルが零ベクトルであれば、 A は逆行列を持たない。」

【例題】 A を n 次正則行列とするとき、^{t}A も n 次正則行列で、 (^{t}A)^{−1} = ^{t}(A^{−1}) であるこ

とを示せ。【略解】 X = ^{t}(A^{−1}) と置くと、

tAX = ^{t}A^{t}(A^{−1}) = ^{t}(A^{−1}A) = ^{t}E = E,

X^{t}A = ^{t}(A^{−1})^{t}A = ^{t}(AA^{−1}) = ^{t}E = E

ゆえ。【問題 2】 A, B を n 次正則行列、 k を 0 でないスカラー、 ℓ を自然数とする。このとき次

の公式を示せ。

(1) A^{−1} も n 次正則行列で、 (A^{−1})^{−1} = A

(2) kA も n 次正則行列で、 (kA)^{−1} = \frac{1}{k} A^{−1}

(3) AB も n 次正則行列で、 (AB)^{−1} = (B^{−1}) (A^{−1})