応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) 1999 年 4 月 19 日のレポート

\underline{学生番号氏名}

【問題 1】次の行列のうち対角行列、上 (下) 三角行列、対称行列、交代行列であるものをそれぞれ述べよ。

E = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , O = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) ,

C = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , F = ( \begin{matrix}0 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

対角行列 : 上三角行列 : 下三角行列 : 対称行列 : 交代行列 :

【例題 1】交代行列の対角成分は全て 0 であることを示せ。【解】 n 次正方行列 A = (a_{ij}) が交代行列であるとする。^{t}A = −A ゆえ

A の (i, i) 成分 = ^{t}A の (i, i) 成分 = (−A) の (i, i) 成分.

従って a_{ii} = −a_{ii} となり a_{ii} = 0 を得る。【問題 2】対称行列 A が同時に交代行列でもあれば A = O であることを示せ。【例題 2】 A = (a_{ij}) を (m, n) 行列とするとき、 m 次行列 A^{t}A の (i, i) 成分を a_{ij} を用い

て表せ。

【解】 A^{t}A の (i, i) 成分 = ∑_{k=1}^{n} A の (i, k) 成分) × ^{t}A の (k, i) 成分

= ∑_{k=1}^{n} A の (i, k) 成分) × A の (i, k) 成分
= ∑_{k=1}^{n} (a_{ik})^{2}.

【問題 3】 A = (a_{ij}) を実 (m, n) 行列とする。 (1) tr (A^{t}A) を a_{ij} を用いて表せ。

(2) tr (A^{t}A) = 0 ならば A = O であることを示せ。