応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.12

テーマ : 一般のベクトル空間とその部分空間

【体の定義】四則演算 ( 加減乗除 ) が定義されている数の集合を体 (たい) という。実数全体の集合 R、複素数全体の集合 C、有理数全体の集合 Q はいずれも体である。

【ベクトル空間の定義】 K を体とする。 ( わかりにくければ K は実数体 R だと思って以

下の文章を理解しなさい。 )

• 集合 V に和と K の元によるスカラー倍が定義されているとき、 V を K 上のベクトル空間 ( または線形空間 ) と言う。

• K の元をスカラー、 V の元をベクトルと呼ぶ。

• 実数体上のベクトル空間を実ベクトル空間、複素数体上のベクトル空間を複素ベクトル空間とも呼ぶ。

【数ベクトル空間】 K の元を成分にもつ n 項列ベクトル全体の集合を K^{n} と書く。 K^{n} は通常の和とスカラー倍によって K 上のベクトル空間となる。これを数ベクトル空間と呼ぶ。

【関数の空間】 • 「実数上で定義された関数全体の集合」を V とし、 V に和と実数倍を

次で定義する :

(f + g)(x) := f(x) + g(x), (cf)(x) := cf(x) (f, g ∈ V, c ∈ R) このとき V は実ベクトル空間になり、定数関数 0 が V のゼロベクトルである。 • 連続関数全体の集合、微分可能な関数全体の集合なども実ベクトル空間になる。

【多項式の空間】 • 文字 x の K-係数多項式全体の集合を K [x] と書く。 K [x] は多項式

としての和とスカラー倍によって K 上のベクトル空間になる。

• また n 次以下の K-係数多項式全体の集合 K_{n}[x] も K 上のベクトル空間になる。

【数列の空間】添字 0 から始まる数列全体の集合 V に和とスカラー倍を

a + b = { a_{n} + b_{n} }_{n=0,1,···} k a = { k a_{n} }_{n=0,1,···}

( a = { a_{n} }_{n=0,1,···}, b = { b_{n} }_{n=0,1,···} ∈ V )

で定義すると V はベクトル空間になる。

【線形的概念】これら一般のベクトル空間に対しても、一次結合、一次独立性、一次従属性、などの概念を考える。

• K 上のベクトル空間 V のベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} に対し、

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{m}a_{m} ( c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{m} ∈ K )
と表されるベクトルを a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} の一次結合と言う。

• a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} の一次結合として表されるベクトル全体の集合を ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} ⟩ と表し、 a_{1}, a_{2}, ⋯,a_{k} の生成する部分空間と呼ぶ。

• スカラー c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{m} ∈ K について

「c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{m}a_{m} = 0 ⟹ c_{1} = c_{2} = ⋯ = c_{m} = 0」が成り立つとき、 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} は一次独立であると言う。そうでないとき一次従属と言う。

【129〜132】実数上の実数値関数のなす実ベクトル空間 V において、次のベクトルの組は一次独立であることを示せ。

【129】sin x, cos x, sin(2x)  【130】2^{x}, 3^{x}, 4^{x}
【131】x^{2}, e^{x}, sin x  【132】sin x, sin(sin x)

【133】n を自然数とする。実係数多項式のなす実ベクトル空間 R[x] において

x^{n}, (x − 1)^{n}, ⋯, (x − n)^{n}

は一次独立であることを示せ。

【部分空間】 K 上のベクトル空間 V の部分集合 W がそれ自体、和とスカラー倍で閉じているとき、 W は V の部分ベクトル空間 ( または単に部分空間 ) であると言う。

【命題】 K 上のベクトル空間 V の部分集合 W について次は同値。 (1) W は V の部分空間。

(2) a, b ∈ W, k ∈ K ⟹ a + b ∈ W かつ k a ∈ W

(3) a, b ∈ W, k, ℓ ∈ K ⟹ k a + ℓ b ∈ W

【例】 • (m, n) 行列 A に対し、連立一次方程式の解空間 { x ∈ K^{n} | A x = 0 } は K^{n}

の部分空間である。

• 3 次元空間 R^{3} の部分空間は、原点、原点を通る直線、原点を通る平面、空間全体のいずれかである。

• a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} ∈ V に対し、 ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{m} ⟩ は部分空間になる。

【134〜135】 U, W を共に K 上のベクトル空間 V の部分空間とするとき、次を示せ。

【134】U ∩ W も V の部分空間である。【135】U と W の元の和として表せるベクトル全体の集合を

U + W = { a + b | a ∈ U, b ∈ W }

という記号で表すとき、 U + W は V の部分空間になる。 ( U + W を U と V の和空間と呼ぶ。 )

【136】U, W を共に V の部分空間とする。 U と W の合併集合 U ∪ W が V の部分空間であれば、 U ⊆ W または W ⊆ U が成り立つことを示せ。