応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.10

テーマ : 数ベクトルの一次結合、一次独立性・一次従属性

【一次結合】ベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} に対し、スカラー c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k} を用いて

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k}

と表されるベクトル、またはその書き方を a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} の一次結合 ( または線形結合 ) と言う。

【一次独立・一次従属】ベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} を考える。

• スカラー c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k} について

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k} = 0 ⟹ c_{1} = c_{2} = ⋯ = c_{k} = 0 が成り立つとき、そのベクトルの組は一次独立であると言う。 ( c_{1} = c_{2} = ⋯ = c_{k} = 0 のとき c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k} = 0 が成り立つのは当たり前だが、それ以外の場合は 0 にならないということ。 )

• 一次独立でないことを一次従属と言う。言い換えれば、

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k} = 0 かつ (c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k}) ≠ (0, 0, ⋯, 0) を満たすスカラーの組 c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k} が存在するとき、そのベクトルの組は一次従属であると言う。

【標準基底】 R^{n} の標準基底 e_{1} = ( 1 0 ⋮ 0 ), e_{2} = ( 0 1 ⋮ 0 ), ⋯, e_{n} = ( 0 0 ⋮ 1 ) は一次独立。

{【一次独立・一次従属の基本的な示し方】 \atop ⋄} 一次独立であることを示すには、証明の頭に

「c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k} = 0 とする」

と書き、証明の最後に

「故にc_{1} = c_{2} = ⋯ = c_{k} = 0 」

が来る様に間の論理を埋める。 ⋄ 一次従属であることを示すには、

c_{1}a_{1} + c_{2}a_{2} + ⋯ + c_{k}a_{k} = 0 かつ (c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k}) ≠ (0, 0, ⋯, 0) となるスカラー c_{1}, c_{2}, ⋯, c_{k} の例をひとつ挙げる。

【生成する部分空間】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} の一次結合として表されるベクトル全体の集合を

⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ⟩

と表し、 a_{1}, a_{2}, ⋯,a_{k} の生成する部分空間 ( または a_{1}, a_{2}, ⋯,a_{k} によって張られる部分空間 ) と呼ぶ。

【命題 A】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} とするとき、次は同値である。 (a) ベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} は一次従属。

(b) 1 ≦ ∃ j ≦ m s.t. a_{j} ∈ ⟨ a_{1}, ⋯, a_{j−1}, a_{j+1}, ⋯, a_{k} ⟩

(c) 1 ≦ ∃ j ≦ m s.t. ⟨ a_{1}, ⋯, a_{k} ⟩ = ⟨ a_{1}, ⋯, a_{j−1}, a_{j+1}, ⋯, a_{k} ⟩

【命題 B】 R^{3} の 3 つのベクトル a, b, c に対して次が成り立つ。 (1) a が ( ひとつでも組と思って ) 一次独立 ⟺ a ≠ 0 ⟺ ⟨ a ⟩ は直線

(2) a, b が一次独立 ⟺ a ≠ 0, b ≠ 0 で a と b は平行でない ⟺ 0, a, b は同一直線上にない ⟺ ⟨ a, b ⟩ は平面

(3) a, b, c が一次独立 ⟺ 0, a, b, c は同一平面上にない ⟺ ⟨ a, b, c ⟩ は R^{3} 全体に一致

【定理 C】 R^{n} の n 個のベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} について、 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n} が一次独立 ⟺ det(a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}) ≠ 0

【110】R^{n} のベクトルの組 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} が一次独立で、スカラー d_{1}, d_{2}, ⋯, d_{k} がいずれも 0 でないとき、ベクトルの組 d_{1}a_{1}, d_{2}a_{2}, ⋯, d_{k}a_{k} も一次独立であることを示せ。

【111〜113】 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} とするとき、次のベクトルの組は一次従属であることを

示せ。【111】 0, a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} 【112】 a_{1}, a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} 【113】 a_{1} + a_{2}, a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k}

【114】ベクトルの組( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ a \\ a^{2} \end{matrix} ) が一次従属になるような実数 a の値をす

べて求めよ。

【115】x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , y = ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ∈ R^{n} に対して標準内積 ( x, y) を

( x, y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{n}y_{n}

で定める。 a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ∈ R^{n} がいずれも 0 でなく、また標準内積に関して互いに直交していれば、それらは一次独立であることを示せ。

【116〜118】 R^{3} ( = xyz-空間 ) の中で次の図形の方程式を求めよ。

【116】 ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} )⟩ 【117】 ⟨( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} )⟩ 【118】 ⟨( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} )⟩

【119】a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k}, b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{ℓ} ∈ R^{n} とするとき、次は同値であることを示せ。 (a) ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ⟩ = ⟨ b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{ℓ} ⟩

(b) ∀ a_{i} ∈ ⟨ b_{1}, b_{2}, ⋯, b_{ℓ} ⟩ かつ ∀ b_{i} ∈ ⟨ a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{k} ⟩