応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.8

テーマ : 積・区分けと行列式、掃き出し法による行列式の計算

【定理 G】次のように区分けされた n 次の行列式は

| \begin{matrix}a & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & B \\ 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix}a & 0 & ⋯ & 0 \\ ∗ \\ ⋮ & & B \\ ∗ \end{matrix} | = a × | B |

となる。ただし a はスカラー、 B は (n−1) 次行列で、 ∗ は任意の数を表す。

{【定理 H】 \atop (1)} ふたつの n 次行列 A, B に対して | AB | = | A | × | B | が成り立つ。 (2) A が正則行列 ⟺ | A | ≠ 0

(3) A が正則行列ならば | A^{−1}| = | A |^{−1}

【定理 I】 A を m 次行列、 B を (m, n) 行列、 C を (n, m) 行列、 D を n 次行列とするとき、次のように区分けされた m + n 次の行列式は

| \begin{matrix}A & B \\ O & D \end{matrix} | = | \begin{matrix}A & O \\ C & D \end{matrix} | = | A | × | D | となる。

【行列式の具体的な計算法 ( 掃き出し法 )】定理 A–I を用いて次の様に計算する ( 特に行基本変形・列基本変形に関する公式が重要 ) :

| \begin{matrix}0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | =^{♣} − | \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix} | =^{♢} − | \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & −1 & −4 \end{matrix} |

=^{♡} −1 × | \begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & −4 \end{matrix} | =^{♠} −(3 × (−4) − 2 × (−1)) = 10

♣ (1,1) 成分に 0 でない数を持ってくる為に第 1 行と第 2 行を入れ換えた。 ( 定理 C

(3) を用いた。 ) ♢ 定理 G のパターンに持ち込む為に、第 3 行から 2×(第 1 行) を引いた。 ( 定理 D

(3) を用いた。 ) ♡ 定理 G を用いた。 ♠ 2 次の行列式を計算した。

【83】A, B, C, D を n 次行列、 λ をスカラーとするとき、区分けされた 2n 次の行列式に関する次の等式を示せ :

| \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} | = | \begin{matrix}A+λC & B+λD \\ C & D \end{matrix} | = | \begin{matrix}A+λB & B \\ C+λD & D \end{matrix} |

【84】A, B を n 次行列とするとき、区分けされた 2n 次の行列式に関する次の等式を示せ。

| \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} | = | A+B | × | A−B |

【85】n 次行列 A, B, C, D について| \begin{matrix}AB & AD \\ CB & CD \end{matrix} | = 0 を示せ。

【86〜90】次の行列式を計算せよ。

【86】| \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | 【87】| \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} | 【88】| \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} |

【89】| \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} | 【90】| \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} |

【91】n 次の行列式| \begin{matrix}a & b & b & ⋯ & b \\ b & a & b & ⋯ & b \\ b & b & a & ⋯ & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ b & b & b & ⋯ & a \end{matrix} | を計算せよ。

【92】A = ( \begin{matrix}a & b & c & d \\ −b & a & −d & c \\ −c & d & a & −b \\ −d & −c & b & a \end{matrix} ) とおくとき、

(1) A^{t}A を計算せよ。 (2) | A | を計算せよ。【93】a_{ij} = ( \begin{matrix}i + j − 2 \\ j − 1 \end{matrix} ) で定まる n 次行列 A = (a_{ij}) の行列式は 1 であることを示せ。

ただし ( \begin{matrix}p \\ q \end{matrix} ) = \frac{p!}{q! (p − q) !} は二項係数を表し、例えば

n = 3 : ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{matrix} ) , n = 4 : ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{matrix} )

【94^{∗}】全ての成分がそれぞれ 0 か 1 であるような 4 次行列の行列式の最大値は幾らか。【95^{∗}】全ての成分がそれぞれ 0 か 1 であるような 5 次行列の行列式の最大値は幾らか。

【94^{∗}】 , 【95^{∗}】は計算機を用いても良い。