応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.7

テーマ : 行列式の定義と性質、サラスの方法

【行列式の定義】n 次正方行列 A = (a_{ij}) に対して次の式で定まるスカラーを A の行列

式と言い、 det A、 det(A)、 | A |、 | a_{ij} | などの記号で表す :

| A | = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) a_{σ(1)1} ⋯ a_{σ(n)n}

ただし Σ は n 文字の置換全てにわたる和である。 ( a_{σ(1)1}, ⋯, a_{σ(n)n} は n 個の列からひとつずつ成分を取り出して、それが n 個の行にもひとつずつ入っているような成分の取り出し方で、それらの数を掛けて符号 sgn(σ) を付けて足し合わせたものが行列式である。 )

【1 次・ 2 次・ 3 次の行列式】 1 次・ 2 次・ 3 次の行列式は次のようになる :

| a | = a  ( 絶対値と同じ記号だが区別せよ)
| \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} | = ad − bc
| \begin{matrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} | = aei + bfg + cdh − afh − bdi − ceg

{【定理 A】 \atop (1)} n 次行列 A = (a_{ij}) が対角行列、上三角行列または下三角行列ならば

| A | = a_{11}a_{22} ⋯ a_{nn}

(2) 特に | E_{n} | = 1, | O_{n} | = 0.

【3 次の行列式の覚え方 (サラスの方法)】図で右下がりの線上の 3 つの数字を掛けて足し、左下がりの線上の 3 つの数字を掛けて引く。 ( 4 次以上ではこの様な便利な覚え方はない。 )

\begin{aligned}＼ & & ＼ & & ＼ \\ & a & & b & & c \\ & & ＼ & & ＼ & & ＼ \\ & d & & e & & f & & d \\ & & & & ＼ & & ＼ & & ＼ \\ & g & & h & & i & & g & & h \\ & & & & & & ↘ & & ↘ & & ↘ \end{aligned}  \begin{aligned}& & & & & & ／ & & ／ & & ／ \\ & & & & & a & & b & & c \\ & & & & ／ & & ／ & & ／ \\ & & & f & & d & & e & & f \\ & & ／ & & ／ & & ／ \\ & h & & i & & g & & h & & i \\ ↙ & & ↙ & & ↙ \end{aligned}

【76〜77】次の行列式をサラスの方法を用いて計算し、答えを因数分解せよ。

【76】| \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a \\ 1 & a & a^{2} \end{matrix} |  【77】| \begin{matrix}a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{matrix} |  【78】| \begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{matrix} |

【79】全ての成分がそれぞれ 0 か 1 であるような 3 次行列の行列式の最大値は幾らか。

【80】n ≧ 2 のとき、全ての成分が奇数である n 次行列の行列式は偶数であることを示せ。【定理 B】 n 次行列 A に対して | ^{t}A | = | A | が成り立つ。すなわち

| A | = ∑_{σ∈S_{n}} sgn(σ) a_{1σ(1)} ⋯ a_{nσ(n)}

が成り立つ。【記号】列ベクトル表示が A = (a_{1} ⋯ a_{n}) である様な n 次行列 A の行列式を | A | =

det(a_{1}, ⋯, a_{n}) とも書く。【定理 C】上の記号のもとで次が成り立つ。

(1) スカラー λ に対して det(λa_{1}, ⋯, a_{n}) = λ det(a_{1}, ⋯, a_{n}).

(2) 第 1 列が a_{1} = a + b と書けているとき、 det(a + b, a_{2}, ⋯, a_{n}) = det(a, a_{2}, ⋯, a_{n}) + det(b, a_{2}, ⋯, a_{n}).

(3) 第 j 列と第 k 列を入れ換えると、 det(a_{1}, ⋯, a_{j}, ⋯, a_{k}, ⋯, a_{n}) = − det(a_{1}, ⋯, a_{k}, ⋯, a_{j}, ⋯, a_{n}).

(4) 公式 (1), (2) は他の列についても成り立つ ( ∵ (3) ) 。 ( (1), (2) は行列式の線形性、 (3) は行列式の交代性と呼ばれる。 )

【定理 D】上の定理より次が導かれる。 (1) n 次行列 A のひとつの列ベクトルが 0 ならば | A | = 0.

(2) n 次行列 A のふたつの列ベクトルが等しければ | A | = 0.

(3) n 次行列 A = (a_{1} ⋯ a_{n}) の第 j 列に第 k 列のスカラー倍 λa_{k} ( k ≠ j ) を加え

た n 次行列を B とするとき、 | A | = | B | . すなわち

det(⋯, a_{j}, ⋯, a_{k}, ⋯) = det(⋯, a_{j} + λa_{k}, ⋯, a_{k}, ⋯).

【定理 E】 n 文字の置換 ρ ∈ S_{n} に対して

det(a_{ρ(1)}, ⋯, a_{ρ(n)}) = sgn(ρ) det(a_{1}, ⋯, a_{n})

が成り立つ。【定理 F】定理 C, 定理 D, 定理 E は行ベクトル表示についても成り立つ ( 定理 B より )。【81】スカラー λ と n 次行列 A に対して | λA | = λ^{n} | A | を示せ。【82】n が奇数ならば、 n 次交代行列 A に対して | A | = 0 であることを示せ。（このこと

から奇数次の交代行列は正則ではないことがわかる。）