応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.5

テーマ : 掃き出し法による逆行列の計算・連立一次方程式の解法

【定理 A】 n 次正方行列 A について、次はすべて同値である。 (1) A は正則。 (2) rank (A) = n.

(3) A は基本行列の積として表すことができる。

(4) AX = E を満たす n 次行列 X が存在する。 ( X = A^{−1} となる。 )

(5) XA = E を満たす n 次行列 X が存在する。 ( X = A^{−1} となる。 )

(6) A は行基本変形だけで E に変形できる。

(7) A は列基本変形だけで E に変形できる。

【定理 B (掃き出し法)】 n 次正方行列 A に対して (n, 2n) 次行列 B := (A | E_{n}) を考えるとき、次が成り立つ。

(1) A が正則ならば、適切な行基本変形によって B は (E_{n} | X) の形に変形され、このとき X = A^{−1} となる。

(2) 行基本変形によって B の左ブロックに 0 が現われれば、 A は正則でない。【注意】掃き出し法では列基本変形を使ってはいけない !!

【例 1】 A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) のとき、( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} | \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 0 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} )

→ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ −1 & 2 & −2 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ) ゆえ A は正則で、 A^{−1} = ( \begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ −1 & 2 & −2 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix} ).

【例 2】 A = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} ) のとき、 ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ⟶ ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) となり、

左ブロックに 0 が現われたので A は正則ではない。

【49〜53】次の正方行列に掃き出し法を適用して正則かどうか判定し、正則な場合はその逆行列も求めよ。

【49】 ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  【50】 ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} )  【51】 ( \begin{matrix}0 & −1 & −2 \\ 1 & 0 & −3 \\ 2 & 3 & 0 \end{matrix} )

【52】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) 【53】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 & −1 \\ 1 & −1 & −1 & 1 \end{matrix} )

【54】ふたつの n 次正方行列 A, B について、積 AB が正則ならば A, B は共に正則であることを ( 行列式の知識を使わずに、【定理 A】のみを使って ) 示せ。

【定理 C】 A = (a_{ij}) を (m, n) 行列、 b = (b_{i}) ∈ R^{m} を定数ベクトル、 n 項列ベクトル x = (x_{i}) を未知数のベクトルとして、連立一次方程式 Ax = b 、すなわち

{ a_{11}x_{1} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1} ; ⋮ ; a_{m1}x_{1} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m} · · · · · · ( ∗ )

を考えるとき、 A を (∗) の係数行列、 (m, n + 1) 行列 (A | b) を (∗) の拡大係数行列と呼ぶ。

(1) (∗) が解を持つ必要十分条件は rank (A) = rank (A | b) である。

(2) rank (A) = rank (A | b) のとき、 (∗) の解は n − rank (A) 個のパラメータ ( 任意定数 ) を用いて書き表すことができる。 n − rank (A) を解の自由度と言う。

【掃き出し法による連立一次方程式の解法】

(1) 拡大係数行列 (A | b) に行基本変形のみを施して次の形の階段行列に変形する。

A′ = (  \begin{matrix}1 & ⋯ & & & b′_{1} \\ & 1 & ⋯ & & ⋮ \\ & & 1 & ⋯ & b′_{r} \\ O & & & & ∗ \end{matrix} )  ( r = rank (A) )

(2) ∗ の部分に 0 でない数があれば解はない。

(3) ∗ の部分が全て 0 ならば、 A′ で段のない列 k についての x_{k} がパラメータとなり、段のある列 j についての x_{j} がそのパラメータ達で表される。

【55】次の連立一次方程式が解を持つ為の必要十分条件を a で表せ。

\{ \begin{matrix}x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \\ 2x & + & 3y & + & 4z & = & a \\ 3x & + & 4y & + & 5z & = & a^{2} \end{matrix}

{【法演算・有限体】 \atop •} 法と呼ばれる自然数 m を固定したとき、 m の剰余系での計算を

法 ( modulo ) m の演算という。

• 特に法が素数 p のときは、 0 以外の剰余については逆数も存在するので加減乗除

の四則演算が可能となる。そこで、法 p での演算の定義された集合

F_{p} = { 0, 1, ⋯, p − 1 }

を有限体 ( p 元体 ) という。

• 例えば 7 元体では 1^{−1} = 1, 2^{−1} = 4, 3^{−1} = 5, 6^{−1} = 6.

【56〜58】レポートの【問題 2】 (1)-(3) を【56】 2 元体で解け。【57】 3 元体で解け。【58】 5 元体で解け。