応用線形代数演習 I ( 塩田教官 ) No.3

テーマ : 区分け、正則行列、逆行列

【区分け】 • 行列を幾つかの横線と幾つかの縦線で区切って小行列 ( 小さい行列 ) に分

割することを行列の区分けと言う。

• 特に (m, n) 行列 A の第 j 列ベクトルを a_{j} と書いて

A = (a_{1} ⋯ a_{n})

のように列ベクトルに分割することを列ベクトル表示と言う。また A の第 i 行ベクトルを u_{i} と書いて

A = ( u_{1} ; ⋮ ; u_{m} )

のように行ベクトルに分割することを行ベクトル表示と言う。 ⋄ 区分けされた行列の和・差、スカラー倍、転置は次のようになる。

(\begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ A_{r1} & ⋯ & A_{rs} \end{matrix}) ± (\begin{matrix}B_{11} & ⋯ & B_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ B_{r1} & ⋯ & B_{rs} \end{matrix}) = (\begin{matrix}A_{11} ± B_{11} & ⋯ & A_{1s} ± B_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ A_{r1} ± B_{r1} & ⋯ & A_{rs} ± B_{rs} \end{matrix}) ,

k (\begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ A_{r1} & ⋯ & A_{rs} \end{matrix}) = (\begin{matrix}kA_{11} & ⋯ & kA_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ kA_{r1} & ⋯ & kA_{rs} \end{matrix}) , ^{t} (\begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ A_{r1} & ⋯ & A_{rs} \end{matrix}) = ( \begin{matrix}^{t}A_{11} & ⋯ & ^{t}A_{r1} \\ ⋮ & & ⋮ \\ ^{t}A_{1s} & ⋯ & ^{t}A_{rs} \end{matrix})

⋄ (ℓ, m) 行列 A の列の分割の仕方と、 (m, n) 行列 B の行の分割の仕方が等しいときには、小行列を成分のように扱って積 AB が計算できる ( 左右の掛け方を間違えてはいけない。 ) :

( \begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1s} \\ ⋮ & & ⋮ \\ A_{r1} & ⋯ & A_{rs} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}B_{11} & ⋯ & B_{1t} \\ ⋮ & & ⋮ \\ B_{s1} & ⋯ & B_{st} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}C_{11} & ⋯ & C_{1t} \\ ⋮ & & ⋮ \\ C_{r1} & ⋯ & C_{rt} \end{matrix} )

ただし

C_{ij} := ∑_{k=1}^{s} A_{ik}B_{kj} = A_{i1}B_{1j} + ⋯ + A_{is}B_{sj}

⋄ 例えば、

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}P & Q \\ R & S \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}AP + BR & AQ + BS \\ CP + DR & CQ + DS \end{matrix} ) ,

A(b_{1} ⋯ b_{n}) = (Ab_{1} ⋯ Ab_{n}) ,  ( u_{1} ; ⋮ ; u_{m} ) B = ( u_{1}B ; ⋮ ; u_{m}B )

【逆行列】 • A を n 次正方行列とする。

「AX = XA = E_{n} を満たすn 次正方行列Xが存在する」

とき A は正則である、または A は正則行列 (可逆行列) であると言う。 X を A の逆行列と呼び、 A^{−1} と表す。 • 正則行列 A と自然数 ℓ に対して A^{−ℓ} := (A^{−1})^{ℓ} と定める。このとき、指数法則

は負の整数も含めて成立する。

【定理】 A, B を n 次正則行列、 k を 0 でないスカラー、 ℓ を自然数とするとき

(A^{−1})^{−1} = A, (kA)^{−1} = \frac{1}{k} A^{−1}, (^{t}A)^{−1} = ^{t}(A^{−1}),

(A^{ℓ})^{−1} = (A^{−1})^{ℓ}, (AB)^{−1} = (B^{−1}) (A^{−1})

【定理】 n 次行列 A のひとつの列ベクトルが零ベクトルであれば A は正則でない。また、ひとつの行ベクトルが零ベクトルであっても A は正則でない。

【29〜31】 A, B, C, D, P, S を n 次正方行列、 E = E_{n}, O = O_{n}, ℓ を自然数とするとき、次の式を示せ。

【29】 ( \begin{matrix}O & E \\ E & O \end{matrix} )^{2} = E_{2n}, ( \begin{matrix}O & −E \\ E & O \end{matrix} )^{2} = −E_{2n}, ( \begin{matrix}O & E \\ −E & E \end{matrix} )^{3} = −E_{2n}

【30】 ( \begin{matrix}E & B \\ O & E \end{matrix} )^{ℓ} = ( \begin{matrix}E & ℓ B \\ O & E \end{matrix} ), ( \begin{matrix}E & O \\ C & E \end{matrix} )^{ℓ} = ( \begin{matrix}E & O \\ ℓ C & E \end{matrix} )

【31】 ( \begin{matrix}A & O \\ O & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}P & O \\ O & S \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}AP & O \\ O & DS \end{matrix} ), ( \begin{matrix}A & O \\ O & D \end{matrix} )^{ℓ} = ( \begin{matrix}A^{ℓ} & O \\ O & D^{ℓ} \end{matrix} )

【32〜34】次の 3 次行列の逆行列を求めよ。

【32】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  【33】( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} )  【34】( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )

【35 (定理)】 m 次正方行列 P と n 次正方行列 S が共に正則行列であるとき、任意の (m, n)

行列 Q について A = ( \begin{matrix}P & Q \\ O & S \end{matrix} ) と区分けされた行列 A は正則行列であり、

A^{−1} = ( \begin{matrix}P^{−1} & −P^{−1}QS^{−1} \\ O & S^{−1} \end{matrix} )

であることを示せ。

【36】正則行列 A が対称行列ならば A^{−1} も対称行列であることを示せ。また正則行列 A が交代行列ならば A^{−1} も交代行列であることを示せ。

【37】正方行列 A は、或る自然数 ℓ に対して A^{ℓ} = O となるときべき零行列であると言う。べき零行列は正則でないことを示せ。

【38】正方行列 A がべき零行列ならば B := E − A は正則であることを示せ。 ( ヒント : x^{m} − 1 の因数分解 )

【39】O でない n 次行列 A は「AB = O を満たす n 次行列 B ( B ≠ O ) が存在する」とき、零因子であると言う。零因子は正則でないことを示せ。